Calcule as integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.

Passo 1

No enunciado temos o campo vetorial e a superfície F=[tg(xy),,x^2y,,-z] dada por S com y^2+tfrac19z^2=1. Trata-se de um cilindro elíptico lateral (aberto em 1<= x<=4 e x=1) e queremos calcular o fluxo de x=4 através de F.

Passo 2

Para calcular o fluxo, parametrizamos S usando x e um ângulo t para a elipse no plano x= const:
x = x, y = cos t, z = 3sin t,
com 1<= x<=4 e 0<= t<=2pi.

Passo 3

Da parametrização vec r(x,t) obtemos os vetores tangentes
vec rx=(1,0,0),vec rt=(0,-sin t,3cos t)
O vetor área orientado externamente é .

Passo 4

Calculamos
vec rttimesvec rx=(0,3cos t,sin t)
e avaliamos o campo na parametrização:
O produto escalar dá
vec F(vec r)=(tg(xcos t),,x^2cos t,,-3sin t)

Passo 5

O fluxo é
Como , temos
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Resposta

Fluxo de vec F através de S=54\pi. A superfície é um cilindro elíptico aberto (lateral).

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