Que curvas são representadas pelas expressões a seguir?
$ \vec{r}(t)=[1,5+t,-5+1 / t]$

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial r(t) = [1,,5+t,,-5 + 1/t]. O conteúdo é curvas definidas por funções vetoriais de um parâmetro, e vamos precisar ver como cada componente depende de t e identificar a forma geométrica resultante.

Passo 2

Observamos que a componente x é constante e igual a 1. Isso significa que toda a curva fica contida no plano x = 1.
Nas componentes y e z temos as relações y = 5 + t e z = -5 + 1/t. Para eliminar o parâmetro, escrevemos t = y - 5 e 1/t = z + 5.

Passo 3

Multiplicando essas duas expressões, obtemos
(y - 5)(z + 5) = 1

Passo 4

Essa é a equação de uma hipérbole retangular no plano x = 1. Portanto, a curva é uma hipérbole deslocada nesse plano.

Resposta

É uma hipérbole retangular contida no plano x = 1, dada pela equação (y - 5)(z + 5) = 1.

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