Calcule as integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.

Passo 1

O problema pede o fluxo da campo vetorial F=[cosh(yz),0,y^4] através da superfície S dada por y^2+z^2=1, 0<= x<=20, z>=0. Isso é um integral de superfície (fluxo) de um campo sobre uma superfície lateral de cilindro (metade superior do cilindro de raio 1).

Passo 2

Para calcular o fluxo, vamos parametrizar a metade do cilindro. Como y^2+z^2=1 e z>=0, podemos usar y=costheta, z=sintheta com thetain[0,pi]. E xin[0,20]. Assim definimos
r(x,theta)=l(x,costheta,sinthetar)
Então
partialrpartialtheta=(0,-sintheta,costheta), partialrpartial x=(1,0,0)
O vetor normal orientado para fora do cilindro é dado por
n,dS=partialrpartialthetatimespartialrpartial x,dtheta,dx =(0,costheta,sintheta),dtheta,dx
pois |partialthetartimespartialxr|=1.

Passo 3

Substituímos na integral de fluxo
integral duplaSvec Fcdot dS =integralx=0^20integraltheta=0^pi vec F(r(x,theta))cdot(0,costheta,sintheta),dtheta,dx
Em r(x,theta) temos y=costheta e z=sintheta, então
vec F(r)=(cosh(costhetasintheta),;0,;cos^4theta)
e
vec Fcdot(0,costheta,sintheta)=0+cos^4theta,sintheta

Passo 4

Montamos a integral iterada:
integralx=0^20integraltheta=0^picos^4theta,sintheta,dtheta,dx
Primeiro em theta, use substituição u=costheta, du=-sintheta,dtheta. Quando theta=0, u=1; quando theta=pi, u=-1. Assim
integral0^picos^4theta,sintheta,dtheta =integralu=1^-1u^4(-du) =integral-1^1u^4,du =2integral0^1u^4,du =2cdot15 =25
Agora em x:
integral0^2025,dx =20cdot25 =8

Resposta

8

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