Calcule a derivada das funções abaixo:
, em
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função e avaliar essa derivada no ponto dado. Informação fornecida:
- A função é
. - O ponto onde devemos avaliar a derivada é
.
Observação sobre a interpretação da função: interpreto
como
, isto é,
dividido por
.
Passo 2
Organizar a função para derivar de forma clara. É útil escrever
como um produto constante vezes um quociente:
Defino
então
Vou usar a regra do quociente para
porque aqui temos uma função sobre outra (é um método direto e pouco sujeito a erro). Se quisesse poderia também usar produto com
, mas a regra do quociente é mais direta neste caso.
Passo 3
Apresento a regra do quociente (e explico o que cada símbolo significa):
- Se
e são funções diferenciáveis e , então
Aqui
é a derivada de
e
é a derivada de
. Vou aplicar essa fórmula multiplicada pela constante
.
Também vou precisar da regra da cadeia para derivar
: se
é diferenciável então
E a derivada de
é conhecida:
Passo 4
Calcular
e
explicitamente.
Defino a função interna
Então
(porque
é constante em relação a
).
Usando a regra da cadeia para
:
Para
já temos
Passo 5
Aplicar a regra do quociente à função
e multiplicar pelo fator
:
Agora substituo
:
Posso reescrever de forma mais limpa:
Passo 6
Agora avaliamos em
. Primeiro calcule os termos básicos em
:
A parte angular fica
Conhecemos os valores trigonométricos:
Também
Substituindo em
:
Simplifico o numerador agrupando fatores comuns
:
Porque
Agora multiplico pelo
:
Distribuo
: