Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=\frac{3 \cos (\pi x / 4 e)}{2 \ln (x)}, em x_{o}=e

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função e avaliar essa derivada no ponto dado. Informação fornecida:
  • A função é f(x)=\dfrac{3\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{4e}\right)}{2\ln(x)}.
  • O ponto onde devemos avaliar a derivada é x_{0}=e.
Observação sobre a interpretação da função: interpreto \cos(\pi x / 4 e) como \cos\!\left(\dfrac{\pi x}{4e}\right), isto é, \pi x dividido por 4e.

Passo 2

Organizar a função para derivar de forma clara. É útil escrever f como um produto constante vezes um quociente:
f(x)=\frac{3}{2}\cdot \frac{\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{4e}\right)}{\ln(x)}.
Defino
g(x)=\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{4e}\right),\qquad h(x)=\ln(x),
então
f(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{g(x)}{h(x)}.
Vou usar a regra do quociente para \dfrac{g(x)}{h(x)} porque aqui temos uma função sobre outra (é um método direto e pouco sujeito a erro). Se quisesse poderia também usar produto com 1/h(x), mas a regra do quociente é mais direta neste caso.

Passo 3

Apresento a regra do quociente (e explico o que cada símbolo significa):
  • Se g e h são funções diferenciáveis e h(x)\neq0, então
\left(\frac{g}{h}\right)'(x)=\frac{g'(x)\,h(x)-g(x)\,h'(x)}{\big(h(x)\big)^2}.
Aqui g'(x) é a derivada de g e h'(x) é a derivada de h. Vou aplicar essa fórmula multiplicada pela constante \dfrac{3}{2}.
Também vou precisar da regra da cadeia para derivar g(x)=\cos(\theta(x)): se \theta(x) é diferenciável então
\frac{d}{dx}\cos(\theta(x))=-\sin(\theta(x))\cdot \theta'(x).
E a derivada de \ln(x) é conhecida:
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Calcular g'(x) e h'(x) explicitamente.
Defino a função interna
\theta(x)=\frac{\pi x}{4e}.
Então \theta'(x)=\dfrac{\pi}{4e} (porque \pi/(4e) é constante em relação a x).
Usando a regra da cadeia para g(x)=\cos(\theta(x)):
g'(x)=-\sin\!\left(\frac{\pi x}{4e}\right)\cdot \frac{\pi}{4e}.
Para h(x)=\ln(x) já temos
h'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente à função \dfrac{g(x)}{h(x)} e multiplicar pelo fator \dfrac{3}{2}:
f'(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{g'(x)\,h(x)-g(x)\,h'(x)}{\big(h(x)\big)^2}.
Agora substituo g,g',h,h':
f'(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{\displaystyle -\sin\!\left(\frac{\pi x}{4e}\right)\cdot\frac{\pi}{4e}\cdot\ln(x)\;-\;\cos\!\left(\frac{\pi x}{4e}\right)\cdot\frac{1}{x}}{\big(\ln(x)\big)^2}.
Posso reescrever de forma mais limpa:
f'(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{-\dfrac{\pi}{4e}\,\ln(x)\,\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{4e}\right)\;-\;\dfrac{1}{x}\,\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{4e}\right)}{\big(\ln(x)\big)^2}.

Passo 6

Agora avaliamos em x=e. Primeiro calcule os termos básicos em x=e:
\ln(e)=1.
A parte angular fica
\theta(e)=\frac{\pi e}{4e}=\frac{\pi}{4}.
Conhecemos os valores trigonométricos:
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Também
\frac{1}{e} \text{ é } \frac{1}{e}.é
Substituindo em f'(x):
f'(e)=\frac{3}{2}\cdot\frac{-\dfrac{\pi}{4e}\cdot 1\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\;-\;\dfrac{1}{e}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{1^2}.
Simplifico o numerador agrupando fatores comuns \dfrac{\sqrt{2}}{2e}:
\text{numerador}=-\frac{\sqrt{2}}{2e}\left(\frac{\pi}{4}+1\right).
Porque -\dfrac{\pi}{4e}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{e}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2e}\left(\dfrac{\pi}{4}+1\right).
Agora multiplico pelo \dfrac{3}{2}:
f'(e)=\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2e}\left(\frac{\pi}{4}+1\right)\right) =-\frac{3\sqrt{2}}{4e}\left(\frac{\pi}{4}+1\right).
Distribuo \dfrac{\pi}{4}+1=\dfrac{\pi+4}{4}:
f'(e)=-\frac{3\sqrt{2}}{4e}\cdot\frac{\pi+4}{4}=-\frac{3\sqrt{2}(\pi+4)}{16e}.

Resposta

-\dfrac{3\sqrt{2}\,(\pi+4)}{16e}

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