Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações dadas e o que se pede:
- A função é o produto de três fatores, mas um é constante:
, e os outros dois dependem de : e . - Objetivo: encontrar
(a derivada de em relação a ).
Passo 2
Identificar a estratégia e as fórmulas que vamos usar (aqui explico cada ideia com calma).
- Constante multiplicativa: se
com constante, então
Isto significa que posso puxar o
para fora e derivar só
.
- Regra do produto: se
e são funções, então
Aqui vamos tomar
e
.
- Regra da cadeia: se uma função é composta
, então
Usaremos isso para derivar
(onde
e
) e
(onde
e
).
- Derivadas básicas (lembrando o que cada símbolo significa):
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a (onde é constante) é .
Passo 3
Derivar
usando a regra da cadeia.
- Primeiro, a derivada de
é . - A parte interna é
. A derivada de é .
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Derivar
usando a regra da cadeia.
- A derivada de
é . - A parte interna é
. A derivada de é .
Aplicando a regra da cadeia:
Observação rápida: esse é um resultado útil para lembrar —
para qualquer constante
, porque o fator
se cancela pela regra da cadeia.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto à função interna
, e lembramos do fator constante
.
Pela regra do produto,
Substituindo
que já calculamos:
Agora reincorporamos o fator
(regra do passo 2):
Passo 6
Fazer a simplificação final multiplicando o
:
Podemos, se quisermos, reescrever agrupando termos, por exemplo:
mas ambas as formas são equivalentes. Está tudo certo.