Calcule a derivada das funções abaixo:
y=2 \cos (5 x) \ln (3 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=2\cos(5x)\ln(3x).
Informações dadas e o que se pede:
  • A função é o produto de três fatores, mas um é constante: 2, e os outros dois dependem de x: \cos(5x) e \ln(3x).
  • Objetivo: encontrar \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x).

Passo 2

Identificar a estratégia e as fórmulas que vamos usar (aqui explico cada ideia com calma).
  1. Constante multiplicativa: se y = c\cdot f(x) com c constante, então
\frac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x).
Isto significa que posso puxar o 2 para fora e derivar só \cos(5x)\ln(3x).
  1. Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui vamos tomar u(x)=\cos(5x) e v(x)=\ln(3x).
  1. Regra da cadeia: se uma função é composta h(x)=g(f(x)), então
h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x).
Usaremos isso para derivar \cos(5x) (onde g(t)=\cos t e f(x)=5x) e \ln(3x) (onde g(t)=\ln t e f(x)=3x).
  1. Derivadas básicas (lembrando o que cada símbolo significa):
  • A derivada de \cos t em relação a t é \dfrac{d}{dt}\cos t = -\sin t.
  • A derivada de \ln t em relação a t é \dfrac{d}{dt}\ln t = \dfrac{1}{t}.
  • A derivada de ax em relação a x (onde a é constante) é a.

Passo 3

Derivar u(x)=\cos(5x) usando a regra da cadeia.
  • Primeiro, a derivada de \cos t é -\sin t.
  • A parte interna é t=5x. A derivada de 5x é 5.
Aplicando a regra da cadeia:
u'(x)=\frac{d}{dx}\cos(5x) = -\sin(5x)\cdot 5 = -5\sin(5x).

Passo 4

Derivar v(x)=\ln(3x) usando a regra da cadeia.
  • A derivada de \ln t é \dfrac{1}{t}.
  • A parte interna é t=3x. A derivada de 3x é 3.
Aplicando a regra da cadeia:
v'(x)=\frac{d}{dx}\ln(3x)=\frac{1}{3x}\cdot 3=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}.
Observação rápida: esse é um resultado útil para lembrar — \dfrac{d}{dx}\ln(ax)=\dfrac{1}{x} para qualquer constante a>0, porque o fator a se cancela pela regra da cadeia.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto à função interna \cos(5x)\ln(3x), e lembramos do fator constante 2.
Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(\cos(5x)\ln(3x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v' que já calculamos:
\frac{d}{dx}\big(\cos(5x)\ln(3x)\big)=\big(-5\sin(5x)\big)\ln(3x)+\cos(5x)\cdot\frac{1}{x}.
Agora reincorporamos o fator 2 (regra do passo 2):
\frac{dy}{dx}=2\left[ -5\sin(5x)\ln(3x)+\frac{\cos(5x)}{x}\right].

Passo 6

Fazer a simplificação final multiplicando o 2:
\frac{dy}{dx}=-10\sin(5x)\ln(3x)+\frac{2\cos(5x)}{x}.
Podemos, se quisermos, reescrever agrupando termos, por exemplo:
\frac{dy}{dx}=\frac{2\cos(5x)}{x}-10\sin(5x)\ln(3x),
mas ambas as formas são equivalentes. Está tudo certo.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=-10\sin(5x)\ln(3x)+\dfrac{2\cos(5x)}{x}

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