Calcule a derivada das funções abaixo:
, em
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
no ponto
. Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a derivada é
.
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (com explicação curta e direta):
- Regra do produto: se
e são funções, então
Isto significa que derivamos uma das funções mantendo a outra e somamos com a outra derivada multiplicada pela função que ficou.
- Regra da cadeia: se temos
, então
Ou seja, derivamos o coseno pela sua derivada interna multiplicada pela derivada do argumento.
- Derivada do logaritmo natural:
- Constante factor: um fator constante pode ser colocado fora da derivada:
Passo 3
Identificamos as partes da função para aplicar a regra do produto. Podemos ver
como
É conveniente tratar o
como constante à frente e aplicar produto entre
e
. Assim,
Agora aplicamos a regra do produto em
:
Passo 4
Calculamos as derivadas das partes:
- Pela regra da cadeia,
- E já sabemos que
Substituindo em cima:
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 5
Agora avaliamos a derivada no ponto
. Primeiro calcule as peças com
:
-
, portanto e . -
.
Substituindo em:
Passo 6
Simplificando a expressão anterior obtemos o valor final da derivada no ponto pedido: