Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=2 \cos (x-e) \ln (x), em x_{o}=e

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f(x)=2\cos(x-e)\ln(x) no ponto x_{0}=e. Informações dadas:
  • A função é f(x)=2\cos(x-e)\ln(x).
  • O ponto onde queremos a derivada é x_{0}=e.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (com explicação curta e direta):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Isto significa que derivamos uma das funções mantendo a outra e somamos com a outra derivada multiplicada pela função que ficou.
  • Regra da cadeia: se temos g(x)=\cos(h(x)), então
g'(x)=-\sin(h(x))\cdot h'(x).
Ou seja, derivamos o coseno pela sua derivada interna multiplicada pela derivada do argumento.
  • Derivada do logaritmo natural:
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}\qquad\text{(válido para \(x>0\))}.á
  • Constante factor: um fator constante pode ser colocado fora da derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot w(x)\bigr)=c\cdot w'(x).

Passo 3

Identificamos as partes da função para aplicar a regra do produto. Podemos ver f(x) como
f(x)=2\cdot \bigl(\cos(x-e)\bigr)\cdot \bigl(\ln(x)\bigr).
É conveniente tratar o 2 como constante à frente e aplicar produto entre u(x)=\cos(x-e) e v(x)=\ln(x). Assim,
f'(x)=2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x-e)\ln(x)\bigr).
Agora aplicamos a regra do produto em u(x)v(x):
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x-e)\ln(x)\bigr)=\bigl(\cos(x-e)\bigr)'\ln(x)+\cos(x-e)\bigl(\ln(x)\bigr)'.

Passo 4

Calculamos as derivadas das partes:
  • Pela regra da cadeia,
\bigl(\cos(x-e)\bigr)'=-\sin(x-e)\cdot\frac{d}{dx}(x-e)=-\sin(x-e)\cdot 1=-\sin(x-e).
  • E já sabemos que
\bigl(\ln(x)\bigr)'=\frac{1}{x}.
Substituindo em cima:
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x-e)\ln(x)\bigr)=-\sin(x-e)\ln(x)+\cos(x-e)\cdot\frac{1}{x}.
Multiplicando pelo fator 2 que estava fora:
f'(x)=2\Bigl(-\sin(x-e)\ln(x)+\frac{\cos(x-e)}{x}\Bigr).

Passo 5

Agora avaliamos a derivada no ponto x_{0}=e. Primeiro calcule as peças com x=e:
  • x-e=e-e=0, portanto \sin(x-e)=\sin(0)=0 e \cos(x-e)=\cos(0)=1.
  • \ln(e)=1.
    Substituindo em f'(x):
f'(e)=2\Bigl(-\underbrace{\sin(0)}_{0}\cdot\underbrace{\ln(e)}_{1}+\frac{\underbrace{\cos(0)}_{1}}{e}\Bigr) =2\Bigl(0+\frac{1}{e}\Bigr).

Passo 6

Simplificando a expressão anterior obtemos o valor final da derivada no ponto pedido:
f'(e)=\frac{2}{e}.

Resposta

\dfrac{2}{e}

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