Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada da função $ f(x) = 3 \tan(\sqrt{x}) + \cot(3x) $. Isso está dentro do conteúdo de derivadas de funções compostas e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra da cadeia e as derivadas das funções tangente e cotangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de $ \tan(u) $ em relação a $ x $ é $ \sec^2(u) \cdot u’ $, onde $ u $ é uma função de $ x $. No nosso caso, temos $ \tan(\sqrt{x}) $, então $ u = \sqrt{x} $ e $ u’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} $.
Passo 3
Agora, vamos derivar a primeira parte da função: $ 3 \tan(\sqrt{x}) $. Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Passando para a segunda parte da função: $ \cot(3x) $. A derivada de $ \cot(v) $ é $ -\csc^2(v) \cdot v’ $, onde $ v = 3x $ e $ v’ = 3 $.
Passo 5
Aplicando a derivada na segunda parte:
Resposta
Juntando as duas partes derivadas, a derivada da função $ f(x) $ é: