Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{\sin x}{x + 1} $. O conteúdo que vamos usar aqui é o de derivadas de funções que são quocientes, ou seja, uma função dividida por outra. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente e conhecer as derivadas básicas de funções trigonométricas e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do quociente. Se temos uma função $ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $, a derivada dessa função, $ f’(x) $, é dada por:
Essa regra nos ajuda a derivar funções que são divididas, como é o caso da nossa função $ f(x) $.
Passo 3
Agora, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem a $ g(x) $ e $ h(x) $:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar as derivadas de $ g(x) $ e $ h(x) $:
- A derivada de $ g(x) = \sin x $ é $ g’(x) = \cos x $.
- A derivada de $ h(x) = x + 1 $ é $ h’(x) = 1 $.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a regra do quociente com os valores que encontramos:
Simplificando um pouco, a expressão fica:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = \frac{\sin x}{x + 1} $ é: