Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=sin xx+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{\sin x}{x + 1} $. O conteúdo que vamos usar aqui é o de derivadas de funções que são quocientes, ou seja, uma função dividida por outra. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente e conhecer as derivadas básicas de funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do quociente. Se temos uma função $ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $, a derivada dessa função, $ f’(x) $, é dada por:
f(x) = g(x)h(x)
Essa regra nos ajuda a derivar funções que são divididas, como é o caso da nossa função $ f(x) $.

Passo 3

Agora, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem a $ g(x) $ e $ h(x) $:
g(x)

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar as derivadas de $ g(x) $ e $ h(x) $:
  • A derivada de $ g(x) = \sin x $ é $ g’(x) = \cos x $.
  • A derivada de $ h(x) = x + 1 $ é $ h’(x) = 1 $.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a regra do quociente com os valores que encontramos:
f'(x) = g'(x)h(x) - g(x)h'(x)[h(x)]^2 = cos x cdot (x + 1) - sin x cdot 1(x + 1)^2
Simplificando um pouco, a expressão fica:
f'(x) = (x + 1)cos x - sin x(x + 1)^2

Resposta

A derivada da função $ f(x) = \frac{\sin x}{x + 1} $ é:
f(x) = sin xx + 1

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