Calcule a derivada das funções abaixo:
f(z)=z^z

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(z)=z^z.
O conteúdo usado aqui é derivação de exponencial com função no expoente e na base. Vamos reescrever z^z como exponencial e depois aplicar regra do produto e cadeia.

Passo 2

Reescrevemos
f(z)=z^z = e^,zln z
Aqui definimos a função auxiliar
g(z)=zln z,
de modo que f(z)=e^g(z).

Passo 3

Calculamos a derivada de g(z) usando regra do produto e a derivada de ln z.
A regra do produto diz que
(g1g2)' = g1',g2 + g1,g2'
Tomando g1(z)=z e g2(z)=ln z, temos
g1'(z)=1, g2'(z)=1z,
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g'(z) =1cdotln z + zcdot1z =ln z + 1

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia na derivada de
f(z)=e^g(z)
Sabemos que l(e^g(z)r)' = e^g(z)cdot g'(z). Então
f'(z) = e^,g(z)cdotl(ln z + 1r) = z^z,l(ln z + 1r)

Resposta

f'(z)=z^zl(ln z+1r)

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