Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico de f.
f(x)=llx+2 & se x<0 e^x & se 0 <= x <= 1 2-x & se x>1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= x+2, & x<0, e^x, & 0<= x<=1, 2-x, & x>1,
e pede os pontos de descontinuidade, além de saber se em cada um deles há continuidade à direita, à esquerda ou nenhuma. O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes: para cada ponto que separa as “folhas” (aqui x=0 e x=1) a gente vai calcular os limites laterais e comparar com o valor de f.

Passo 2

Analisando x=0:
— Limite pela esquerda:
limxto0^-f(x)=limxto0^-(x+2)=0+2=2
— Limite pela direita:
limxto0^+f(x)=limxto0^+e^x=e^0=1
— Valor da função: f(0)=e^0=1.
Como limxto0^-f(x)=2neq1=limxto0^+f(x), f é descontínua em x=0. No entanto, limxto0^+f(x)=f(0), então há continuidade à direita em 0, e não há à esquerda.

Passo 3

Analisando x=1:
— Limite pela esquerda:
limxto1^-f(x)=limxto1^-e^x=e^1=e
— Limite pela direita:
limxto1^+f(x)=limxto1^+(2-x)=2-1=1
— Valor da função: f(1)=e^1=e.
Como limxto1^-f(x)=eneq1=limxto1^+f(x), f é descontínua em x=1. Mas limxto1^-f(x)=f(1), logo há continuidade à esquerda em 1, e não há à direita.

Passo 4

Para x<0, a expressão x+2 é uma reta, logo contínua em todo ponto interior ao intervalo (-infty,0). Para 0<x<1, e^x é contínua. Para x>1, 2-x é reta contínua em (1,infty). Concluímos que não há outras descontinuidades além de 0 e 1.

Passo 5

Esboço do gráfico:
— Para x<0, traçar a reta de coeficiente angular 1 e intercepto 2, isto é, pontos como (-2,0) e (0,2); em (0,2) colocar círculo aberto.
— De 0 a 1, desenhar a curva y=e^x saindo de (0,1) com ponto fechado e chegando em (1,e) com ponto fechado.
— Para x>1, desenhar a reta de coeficiente -1 que passa por (1,1) (círculo aberto ali) e segue decrescendo.

Resposta

Pontos de descontinuidade: x=0 e x=1.
Em x=0: contínua apenas à direita.
Em x=1: contínua apenas à esquerda.
Em todos os outros x, f é contínua.

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