Use o teste da razão para mostrar que as sequências abaixo são monótonas. Após verificar a monotonicidade da sequência diga se é crescente ou decrescente.
a) n2 n+1

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão na sequência
an = n2n+1
para mostrar que ela é monótona e determinar se é crescente ou decrescente. O teste da razão consiste em calcular
an+1an
e verificar se esse quociente é maior ou menor que 1: se for maior que 1, a sequência é crescente; se for menor que 1, é decrescente.

Passo 2

Vamos calcular e simplificar a razão
an+1an = n+12(n+1)+1n2n+1 = (n+1)(2n+1)n,(2n+3) = 2n^2+3n+12n^2+3n

Passo 3

Observando a fração obtida, escrevemos
2n^2+3n+12n^2+3n = 1 + 12n^2+3n,
e como 12n^2+3n>0 para todo n>=1, segue que
an+1an>1.
Portanto, a sequência é monótona crescente.

Resposta

a) A sequência n2n+1 é monótona crescente.

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