Calcule a derivada das funções abaixo:
f(z)=z^sen z-(sen z)^z

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(z)=z^sin z-(sin z)^z
O conteúdo aqui é a diferenciação de funções da forma u(z)^v(z). Para isso vamos usar a reescrita
u(z)^v(z) = e^,v(z)ln u(z)
e então aplicar a regra da cadeia, lembrando que ddze^h(z)=h'(z)e^h(z) e ddzln u(z)=u'(z)u(z).

Passo 2

Calcular a derivada de f1(z)=z^sin z. Escrevemos
f1(z)=e^g(z), g(z)=sin z;ln z
Então
g'(z)=cos z;ln z+sin z;1z
e pela regra da cadeia
f1'(z)=e^g(z),g'(z) = z^sin zl(cos z;ln z+sin zzr)

Passo 3

Calcular a derivada de f2(z)=(sin z)^z. Escrevemos
f2(z)=e^h(z), h(z)=z;ln(sin z)
Logo
h'(z)=1cdotln(sin z)+z;cos zsin z =ln(sin z)+zcot z
e
f2'(z)=e^h(z),h'(z) =(sin z)^zl(ln(sin z)+zcot zr)

Passo 4

Como f(z)=f1(z)-f2(z), temos
f'(z)=f1'(z)-f2'(z)

Resposta

f'(z) = z^sin zl(cos z;ln z+sin zzr) - (sin z)^zl(ln(sin z)+zcot zr)

Exercícios relacionados