Calcule a derivada das funções abaixo:
f(z)=log (1+z^z1-z^2)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(z)=log!gl(1+z^z1-z^2gr)
e pede a sua derivada f'(z). Vamos usar as propriedades do logaritmo (transformar quociente em diferença de logaritmos) e a regra da cadeia, em especial para derivar z^z e 1-z^2.

Passo 2

Reescrevendo como diferença de dois logaritmos, temos
f(z)=lnl(1+z^zr);-;lnl(1-z^2r)

Passo 3

Para derivar ln(1+z^z), usamos a regra da cadeia:
a derivada de ln(u) é tfracu'u e a derivada de z^z é
ddz,z^z = z^zl(ln z + 1r)
Logo,
ddzlnl(1+z^zr) = 11+z^z,ddzl(1+z^zr) = z^z(ln z + 1)1+z^z

Passo 4

Para derivar ln(1-z^2), também aplicamos a regra da cadeia:
ddzlnl(1-z^2r) = 11-z^2,ddz(1-z^2) = -2z1-z^2

Passo 5

Agora juntamos as duas derivações, lembrando que f'(z) é a derivada da primeira parte menos a segunda:
f'(z) = z^z(ln z + 1)1+z^z ;-;-2z1-z^2 = z^z(ln z + 1)1+z^z ;+;2z1-z^2

Resposta

f'(z) = z^z(ln z + 1)1+z^z ;+;2z1-z^2

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