Questão 8

Considere o seguinte PPL.
min & -x1-3 x2+x3 & x1+2 x2+x3+x4=8 & 3 x1+x2+2 x3+x5=6 & x1+x2+x3+x6=4 & x1, x2, x3, x4, x5, x6 >= 0
A base formada pelas colunas a1, a2 e a3 é uma base ótima para o problema (1)-(5)? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá o PPL
min;& -x1-3x2+x3 sa;& x1+2x2+x3+x4=8, 3x1+x2+2x3+x5=6, x1+x2+x3+x6=4, xi>=0(i=1,dots,6),
e pergunta se a base B=a1,a2,a3 é ótima. Para isso primeiro precisamos ver se ela gera uma solução básica factível (BFS). Se não for factível, não pode ser ótima.

Passo 2

Na base B fixamos x4=x5=x6=0 e resolvemos
B,(x1,x2,x3)^T = (8,6,4)^T,
onde
B=l[a1;a2;a3r] = 1 & 2 & 1 3 & 1 & 2 1 & 1 & 1
Isso equivale ao sistema
x1+2x2+x3=8, 3x1+x2+2x3=6, x1+x2+x3=4

Passo 3

Da terceira equação vem x1=4-x2-x3.
Substituindo na primeira:
(4-x2-x3)+2x2+x3=8 ;Longrightarrow;x2=4
Na segunda:
3(4-4-x3)+4+2x3=6 ;Longrightarrow;4 - x3=6 ;Longrightarrow;x3=-2
Logo o ponto básico tem x3=-2<0, ou seja não é factível.

Resposta

Não. A base a1,a2,a3 não gera uma solução factível (fica x3=-2<0), logo não pode ser ótima.

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