Calcule a derivada das funções abaixo:
(j) ; f(x)=4+5 x^2 ln x

Passo 1

Vamos resumir: a função é f(x)=4+5x^2lnx. O conteúdo aqui envolve derivada de constante, derivada de um produto e derivada de ln x.

Passo 2

Primeiro, note que f(x) é soma de duas partes: 4 e 5x^2lnx. Pela regra da soma, f′(x) é a soma das derivadas de cada parcela.
A derivada da constante 4 é zero, ou seja, d/dx[4]=0.

Passo 3

Para derivar 5x^2lnx, reconhecemos um produto: seja u(x)=5x^2 e v(x)=lnx. Vamos aplicar a regra do produto.
Calculamos as derivadas: u′(x)=10x, pois d/dx[5x^2]=5·2x; e v′(x)=1/x, pois d/dx[lnx]=1/x.

Passo 4

Pela regra do produto, d/dx[u·v]=u′·v+u·v′. Então d/dx[5x2lnx]=10x·lnx+5x2·(1/x).
Agora simplificamos: 5x^2·(1/x)=5x. Assim f′(x)=10xlnx+5x. Podemos ainda fatorar 5x se quisermos.

Passo 5

Fatorando 5x, obtemos f′(x)=5x(2lnx+1).

Resposta

f'(x)=5x(2ln x+1)

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