Uma janela estilo normando tem a forma de um retângulo encimado por uma semicircunferência. Para um perímetro de 5 metros, encontre as dimensões de tal janela de forma que ela admita a maior quantidade possível de luz. Como seria a modelagem matemática do problema se o vidro empregado no retângulo transmitisse, por unidade de área, o dobro da luz que o vidro usado no semicírculo?
Passo 1
O enunciado pede que a gente modele e resolva um problema de otimização: uma janela é um retângulo de base w e altura h encimado por uma semicircunferência de raio r = w/2, com perímetro total fixo igual a 5 m, e queremos maximizar a quantidade de luz admitida (que inicialmente é proporcional à área total do vidro). Vamos usar cálculo e Lagrange ou eliminação de variáveis.
O conteúdo é otimização com restrição (geometria e cálculo). Precisamos: a expressão do perímetro em função de w e h, a expressão da área total A(w,h), usar a restrição do perímetro para eliminar h, obter A(w) e então achar o máximo via derivada.
O conteúdo é otimização com restrição (geometria e cálculo). Precisamos: a expressão do perímetro em função de w e h, a expressão da área total A(w,h), usar a restrição do perímetro para eliminar h, obter A(w) e então achar o máximo via derivada.
Passo 2
A restrição de perímetro P=5 m é dada por: o retângulo contribui com dois lados de altura h mais a base w, e a semicircunferência contribui com metade da circunferência de raio r=w/2. Assim
Passo 3
A área total do vidro (antes de diferenciar transmissividades) é a soma da área do retângulo e da área da semicircunferência:
Passo 4
Da restrição isolamos h:
Passo 5
Substituímos em A(w,h) para obter função de uma só variável:
$$A(w)= w,\frac{5 - w(1+\tfrac{\pi}{2})}{2} + \frac{\pi w^2}{8}.
$$
Passo 6
Simplificando:
Passo 7
Para achar o máximo, derivamos e igualamos a zero:
Passo 8
Então a altura h é
$$h = \frac{5 - w\bigl(1+\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{2}.
$$
Passo 9
Esse par (w,h) maximiza a área total e, portanto, a luz admitida quando a transmissividade é igual em toda a janela.
Passo 10
Se o vidro do retângulo transmitisse o dobro da luz por unidade de área em comparação ao do semicírculo, a modelagem muda apenas o objetivo: em vez de maximizar A = área total, maximizaríamos L = luz total, com
Resposta
Dimensões que maximizam a luz (transmissividade igual):
w = 20/(8+3π),
h = [5 − w(1+π/2)]/2.
Modelagem com transmissividade dupla no retângulo:
Maximizar
L(w,h) = 2wh + (π/8)w²
sujeito a
2h + w + (π/2)w = 5.
w = 20/(8+3π),
h = [5 − w(1+π/2)]/2.
Modelagem com transmissividade dupla no retângulo:
Maximizar
L(w,h) = 2wh + (π/8)w²
sujeito a
2h + w + (π/2)w = 5.