Uma janela estilo normando tem a forma de um retângulo encimado por uma semicircunferência. Para um perímetro de 5 metros, encontre as dimensões de tal janela de forma que ela admita a maior quantidade possível de luz. Como seria a modelagem matemática do problema se o vidro empregado no retângulo transmitisse, por unidade de área, o dobro da luz que o vidro usado no semicírculo?

Passo 1

O enunciado pede que a gente modele e resolva um problema de otimização: uma janela é um retângulo de base w e altura h encimado por uma semicircunferência de raio r = w/2, com perímetro total fixo igual a 5 m, e queremos maximizar a quantidade de luz admitida (que inicialmente é proporcional à área total do vidro). Vamos usar cálculo e Lagrange ou eliminação de variáveis.
O conteúdo é otimização com restrição (geometria e cálculo). Precisamos: a expressão do perímetro em função de w e h, a expressão da área total A(w,h), usar a restrição do perímetro para eliminar h, obter A(w) e então achar o máximo via derivada.

Passo 2

A restrição de perímetro P=5 m é dada por: o retângulo contribui com dois lados de altura h mais a base w, e a semicircunferência contribui com metade da circunferência de raio r=w/2. Assim
2h + w + pi w2 = 5

Passo 3

A área total do vidro (antes de diferenciar transmissividades) é a soma da área do retângulo e da área da semicircunferência:
A(w,h)= w,h + 12pi l(w2r)^2 = w,h + pi w^28

Passo 4

Da restrição isolamos h:
h = 5 - w - tfracpi w22 = 5 - wl(1+tfracpi2r)2

Passo 5

Substituímos em A(w,h) para obter função de uma só variável:
$$A(w)= w,\frac{5 - w(1+\tfrac{\pi}{2})}{2} + \frac{\pi w^2}{8}.
$$

Passo 6

Simplificando:
A(w)=5w - 8+pi2w^2 + pi8w^2 = 5w - 8+3pi8w^2

Passo 7

Para achar o máximo, derivamos e igualamos a zero:
A'(w)=5 - 8+3pi4,w = 0 Rightarrow w = 208+3pi

Passo 8

Então a altura h é
$$h = \frac{5 - w\bigl(1+\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{2}.
$$

Passo 9

Esse par (w,h) maximiza a área total e, portanto, a luz admitida quando a transmissividade é igual em toda a janela.

Passo 10

Se o vidro do retângulo transmitisse o dobro da luz por unidade de área em comparação ao do semicírculo, a modelagem muda apenas o objetivo: em vez de maximizar A = área total, maximizaríamos L = luz total, com
L(w,h)=2,(w,h) + 1,l(tfrac12pi (tfracw2)^2r) = 2wh + pi w^28, mantendo a mesma restrição
2h + w + pi w2 = 5

Resposta

Dimensões que maximizam a luz (transmissividade igual):
w = 20/(8+3π),
h = [5 − w(1+π/2)]/2.
Modelagem com transmissividade dupla no retângulo:
Maximizar
L(w,h) = 2wh + (π/8)w²
sujeito a
2h + w + (π/2)w = 5.

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