Calcule a derivada das funções abaixo:
(o) ; f(x)=e^sen(x)+(ln (x^2+1))^3

Passo 1

Aqui queremos derivar a função f(x) = e^{\operatorname{sen}(x)} + (\ln(x2+1))3. Esse exercício envolve derivadas de funções compostas, então vamos usar a regra da cadeia, além das derivadas de e^u, ln(u) e potência u^n.

Passo 2

Para derivar e^{\operatorname{sen}(x)}, aplicamos a regra da cadeia: se y = e^{u(x)}, então y’ = e^{u(x)}·u’(x). Aqui u(x)=\operatorname{sen}(x), cuja derivada é u’(x)=\cos(x). Logo, a derivada da primeira parte é e^{\operatorname{sen}(x)}\cos(x).

Passo 3

Agora derivamos (\ln(x2+1))3. Primeiro, seja v(x)=\ln(x^2+1). Pela regra da potência, a derivada de v(x)^3 é 3,v(x)^2,v’(x). Em seguida, v’(x) vem da derivada de \ln(x^2+1), que é 1/(x^2+1)·2x = 2x/(x^2+1). Assim, a derivada dessa parte é 3(\ln(x2+1))2·(2x/(x^2+1)) = \frac{6x}{x2+1}(\ln(x2+1))^2.

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos a derivada total: f’(x) = e^{\operatorname{sen}(x)}\cos(x) + \frac{6x}{x2+1}(\ln(x2+1))^2.

Resposta

f’(x) = e^{\operatorname{sen}(x)}\cos(x) + \frac{6x}{x2+1}(\ln(x2+1))^2

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