Aplique a regra da cadeia para calcular as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede pra derivar por cadeia a função f(x)=cos\sqrt{x4-3x2+1}. O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada duas vezes: primeiro na raiz quadrada e depois no cosseno.
Definimos duas funções internas pra organizar: v(x)=x4-3x2+1 e u(x)=\sqrt{v(x)}. Assim f(x)=cos(u(x)).
Definimos duas funções internas pra organizar: v(x)=x4-3x2+1 e u(x)=\sqrt{v(x)}. Assim f(x)=cos(u(x)).
Passo 2
Aplicando a derivada de f em relação a u, temos f’(x)= -\sin(u(x)) \cdot u’(x). Aqui usei que a derivada de cos é -sin.
Passo 3
Agora derivamos u(x)=\sqrt{v(x)}= [v(x)]^{1/2}. Pela regra da potência e da cadeia, u’(x)= \tfrac12 [v(x)]^{-1/2} \cdot v’(x).
Derivando v(x)=x4-3x2+1, obtemos v’(x)=4x^3-6x.
Derivando v(x)=x4-3x2+1, obtemos v’(x)=4x^3-6x.
Passo 4
Substituindo v(x), v’(x) e u’(x) em f’(x) ficamos com:
Passo 5
Podemos simplificar o fator \tfrac{4x^3-6x}{2} = 2x^3-3x. Então a forma mais enxuta é:
Resposta
(-\tfrac{2x3-3x}{\sqrt{x4-3x2+1}},\sin(\sqrt{x4-3x^2+1}))