Aplique a regra da cadeia para calcular as seguintes derivadas:
(q) ; f(x)=cos raizx^4-3 x^2+1

Passo 1

O enunciado pede pra derivar por cadeia a função f(x)=cos\sqrt{x4-3x2+1}. O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada duas vezes: primeiro na raiz quadrada e depois no cosseno.
Definimos duas funções internas pra organizar: v(x)=x4-3x2+1 e u(x)=\sqrt{v(x)}. Assim f(x)=cos(u(x)).

Passo 2

Aplicando a derivada de f em relação a u, temos f’(x)= -\sin(u(x)) \cdot u’(x). Aqui usei que a derivada de cos é -sin.

Passo 3

Agora derivamos u(x)=\sqrt{v(x)}= [v(x)]^{1/2}. Pela regra da potência e da cadeia, u’(x)= \tfrac12 [v(x)]^{-1/2} \cdot v’(x).
Derivando v(x)=x4-3x2+1, obtemos v’(x)=4x^3-6x.

Passo 4

Substituindo v(x), v’(x) e u’(x) em f’(x) ficamos com:
f'(x)= -sinl(raizx^4-3x^2+1r) cdot 12raizx^4-3x^2+1(4x^3-6x)

Passo 5

Podemos simplificar o fator \tfrac{4x^3-6x}{2} = 2x^3-3x. Então a forma mais enxuta é:
f'(x)= -2x^3-3xraizx^4-3x^2+1,sinl(raizx^4-3x^2+1r)

Resposta

(-\tfrac{2x3-3x}{\sqrt{x4-3x2+1}},\sin(\sqrt{x4-3x^2+1}))

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