Calcule a derivada das funções abaixo:
(m)
(m)
Passo 1
O enunciado quer a derivada de f(x) = e^{x} sen(x) cos(x). O conteúdo é derivação de produto de funções elementares e vamos precisar usar a regra do produto estendida a três fatores.
Passo 2
Vamos chamar u(x)=e^{x}, v(x)=sen(x) e w(x)=cos(x). A regra do produto para três funções diz que f’(x)=u’(x)v(x)w(x)+u(x)v’(x)w(x)+u(x)v(x)w’(x).
Passo 3
Calculamos cada derivada: u’(x)=e^{x}, v’(x)=cos(x) e w’(x)=-sen(x).
Passo 4
Substituindo na regra do produto temos
Passo 5
Fatoramos e^{x} e agrupamos termos:
Passo 6
Para simplificar podemos usar as identidades trigonométricas cos{2}(x)-sen{2}(x)=cos(2x) e 2sen(x)cos(x)=sen(2x). Assim sen(x)cos(x)=\tfrac{1}{2}sen(2x), ficando
Resposta
f’(x)=e^{x}\bigl(cos(2x)+\tfrac{1}{2}sen(2x)\bigr)