Calcule a derivada das funções abaixo:
(m) f(x)=e^x sen(x) cos (x)

Passo 1

O enunciado quer a derivada de f(x) = e^{x} sen(x) cos(x). O conteúdo é derivação de produto de funções elementares e vamos precisar usar a regra do produto estendida a três fatores.

Passo 2

Vamos chamar u(x)=e^{x}, v(x)=sen(x) e w(x)=cos(x). A regra do produto para três funções diz que f’(x)=u’(x)v(x)w(x)+u(x)v’(x)w(x)+u(x)v(x)w’(x).

Passo 3

Calculamos cada derivada: u’(x)=e^{x}, v’(x)=cos(x) e w’(x)=-sen(x).

Passo 4

Substituindo na regra do produto temos
f'(x)=e^x cdot sen(x) cdot cos(x) + e^x cdot cos(x) cdot cos(x) + e^x cdot sen(x) cdot (-sen(x))

Passo 5

Fatoramos e^{x} e agrupamos termos:
f'(x)=e^xl(sen(x)cos(x)+cos^2(x)-sen^2(x)r)

Passo 6

Para simplificar podemos usar as identidades trigonométricas cos{2}(x)-sen{2}(x)=cos(2x) e 2sen(x)cos(x)=sen(2x). Assim sen(x)cos(x)=\tfrac{1}{2}sen(2x), ficando
f'(x)=e^xl(cos(2x)+tfrac12sen(2x)r)

Resposta

f’(x)=e^{x}\bigl(cos(2x)+\tfrac{1}{2}sen(2x)\bigr)

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