Resolva cada equação diferencial pelo método da variação de parâmetros.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^-x ln (x)

Passo 1

Começamos identificando que a equação é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo: y’’–2y’+y=e^{-x},
obreak\ln(x). Vamos usar variação de parâmetros, precisando antes da solução da homogênea, das soluções fundamentais e do wronskiano.

Passo 2

Para a parte homogênea y’’–2y’+y=0 o polinômio característico é r2–2r+1=(r–1)2, raiz dupla r=1. Logo as soluções fundamentais são y_1(x)=e^x e y_2(x)=x e^x, e a solução geral homogênea é y_h=C_1e^x+C_2x e^x.

Passo 3

Calculamos o wronskiano de y_1 e y_2: W(x)=
obreak e^x & x e^x e^x & (x+1)e^x=ex\cdot(x+1)ex - x e^x\cdot ex=e{2x}.

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros temos
obreak u1'(x)=-y2(x),f(x)W(x), u2'(x)=y1(x),f(x)W(x),
onde f(x)=e^{-x}\ln(x). Substituindo y_1, y_2 e W dá
obreak u1'=-x e^xcdot e^-xln(x)/e^2x=-xln(x)e^-2x,
obreak u2'=e^xcdot e^-xln(x)/e^2x=ln(x)e^-2x.

Passo 5

Integramos usando integração por partes e a função exponencial integral Ei:
obreak integral e^-2xln x,dx=-tfrac12e^-2xln x+tfrac12Ei(-2x),
obreak integral x e^-2xln x,dx=-tfrac2x+14e^-2xln x-tfrac14e^-2x+tfrac14Ei(-2x).
Essas expressões dão u_1(x) e u_2(x) (constantes absorvidas em y_h).

Passo 6

A solução particular é y_p=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x). Substituindo e simplificando obtemos
obreak yp=tfrac14e^-x(ln x+1)+tfrac2x-14e^xEi(-2x).
Assim a solução geral é a soma y=y_h+y_p.

Resposta

A solução geral é y(x)=C1e^x+C2x e^x+tfrac14e^-x(ln x+1)+tfrac2x-14e^xEi(-2x).

Exercícios relacionados