Calcule a derivada das funções abaixo:
y=2 x^{3} \cdot \operatorname{arcsen}(x-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=2 x^{3}\cdot \operatorname{arcsen}(x-1).
Informações dadas:
  • A função é o produto de duas funções de x: 2x^{3} e \operatorname{arcsen}(x-1).
  • A derivada deve ser calculada em pontos onde a função é diferenciável. Observação sobre domínio: a função \operatorname{arcsen}(t) exige t\in[-1,1], aqui t=x-1, logo a expressão dentro do arco-seno impõe x\in[0,2]. A derivada que vamos obter envolve \sqrt{1-(x-1)^{2}} no denominador, que é zero em x=0 e x=2; portanto a fórmula da derivada será válida para x\in(0,2).

Passo 2

Escolher o método: aqui usamos a regra do produto porque y é produto de duas funções. A regra do produto diz:
\text{Se }y=u(x)\cdot v(x),\quad\text{então}\quad y' = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x).ã
Definimos:
u(x)=2x^{3},\qquad v(x)=\operatorname{arcsen}(x-1).

Passo 3

Calcular u'(x). Usamos a regra de potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aplicando:
u(x)=2x^{3}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=2\cdot 3x^{2}=6x^{2}.
Expliquei: multiplica-se o expoente 3 pelo coeficiente 2 e diminui-se o expoente em 1.

Passo 4

Calcular v'(x). Aqui precisamos da derivada do arco-seno e da regra da cadeia. Fatos usados:
  • Derivada de \operatorname{arcsen}(t) em relação a t é \dfrac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.
  • Regra da cadeia: se v(x)=\operatorname{arcsen}(g(x)), então v'(x)=\dfrac{g'(x)}{\sqrt{1-[g(x)]^{2}}}.
No nosso caso g(x)=x-1, cuja derivada é g'(x)=1. Portanto
v'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^{2}}}.
Observação: esse resultado exige 1-(x-1)^{2}>0 (ou \ge 0 para continuidade), o que coincide com x\in[0,2]; estritamente para derivada válida sem divisão por zero usamos x\in(0,2).

Passo 5

Aplicar a regra do produto juntando os resultados:
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u'(x)=6x^{2}, u(x)=2x^{3} e v'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x-1)^{2}}}, obtemos
y' = 6x^{2}\cdot \operatorname{arcsen}(x-1) + 2x^{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^{2}}}.

Passo 6

Podemos escrever a derivada de forma um pouco mais compacta, fatorando 2x^{2}:
y' = 2x^{2}\left(3\operatorname{arcsen}(x-1) + \frac{x}{\sqrt{1-(x-1)^{2}}}\right).
E lembrar mais uma vez: essa expressão é válida para x\in(0,2). Nos pontos x=0 e x=2 o denominador zera e a derivada, nessa forma, não é finita.

Passo 7

Exemplo parecido (para fixar): se tivesse f(x)=x^{2}\operatorname{arcsen}(x), então por produto e cadeia
f'(x)=2x\operatorname{arcsen}(x)+x^{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Mesma estrutura que usamos: derivada do primeiro vezes o segundo, mais primeiro vezes derivada do segundo.

Resposta

y'=6x^{2}\operatorname{arcsen}(x-1)+\frac{2x^{3}}{\sqrt{1-(x-1)^{2}}}

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