Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é o produto de duas funções de
: e . - A derivada deve ser calculada em pontos onde a função é diferenciável. Observação sobre domínio: a função
exige , aqui , logo a expressão dentro do arco-seno impõe . A derivada que vamos obter envolve no denominador, que é zero em e ; portanto a fórmula da derivada será válida para .
Passo 2
Escolher o método: aqui usamos a regra do produto porque
é produto de duas funções. A regra do produto diz:
Definimos:
Passo 3
Calcular
. Usamos a regra de potência:
. Aplicando:
Expliquei: multiplica-se o expoente
pelo coeficiente
e diminui-se o expoente em 1.
Passo 4
Calcular
. Aqui precisamos da derivada do arco-seno e da regra da cadeia. Fatos usados:
- Derivada de
em relação a é . - Regra da cadeia: se
, então .
No nosso caso
, cuja derivada é
. Portanto
Observação: esse resultado exige
(ou
para continuidade), o que coincide com
; estritamente para derivada válida sem divisão por zero usamos
.
Passo 5
Aplicar a regra do produto juntando os resultados:
Substituindo
,
e
, obtemos
Passo 6
Podemos escrever a derivada de forma um pouco mais compacta, fatorando
:
E lembrar mais uma vez: essa expressão é válida para
. Nos pontos
e
o denominador zera e a derivada, nessa forma, não é finita.
Passo 7
Exemplo parecido (para fixar): se tivesse
, então por produto e cadeia
Mesma estrutura que usamos: derivada do primeiro vezes o segundo, mais primeiro vezes derivada do segundo.