Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é o produto de uma constante
pela função . - Para que
seja real, é necessário . Portanto a função original está definida apenas onde (por exemplo em intervalos , ). - A derivada precisará ser calculada em pontos onde a função está definida (onde
).
Passo 2
Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (com explicação passo a passo):
- Derivada de uma constante multiplicando uma função: se
com constante, então
Isso significa que a constante sai fora da derivada — útil aqui porque temos o fator
.
- Regra da cadeia: se
, então
Na prática: para derivar uma composição, derivamos a função externa avaliada na interna e multiplicamos pela derivada da função interna.
- Derivada do logaritmo natural: se
(com ), então
Usando a regra da cadeia, para
temos
- Derivada da função seno: para
,
Com essas peças: aplicar constante fora, depois regra da cadeia para
, e usar
.
Passo 3
Aplicando a regra do passo 2 diretamente à nossa função.
Primeiro, tiramos a constante
para fora da derivada:
Agora usamos a fórmula da derivada do logaritmo composto
com
:
Substituindo
, obtemos
Passo 4
Multiplicando pelo
que estava fora:
Podemos escrever essa fração usando a função cotangente, lembrando que
. Assim a forma mais compacta é
Passo 5
Sobre o domínio da derivada: a expressão
só faz sentido quando
. Além disso, a função original
está definida apenas onde
. Logo a derivada real que calculamos vale nos mesmos pontos onde a função está definida, isto é em
tais que
(por exemplo
,
).
Dica prática para a prova: sempre comece tirando constantes para fora, aplique a regra da cadeia no
, e lembre que
. Se vir
, pense imediatamente em
para simplificar.