Calcule a derivada das funções abaixo:
y=2 \ln (\operatorname{sen} x)

Passo 1

O enunciado dá a função
y = 2\ln\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)
e pede para calcular a derivada y'=\dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é o produto de uma constante 2 pela função \ln(\operatorname{sen} x).
  • Para que \ln(\operatorname{sen} x) seja real, é necessário \operatorname{sen} x>0. Portanto a função original está definida apenas onde \operatorname{sen} x>0 (por exemplo em intervalos (2k\pi,(2k+1)\pi), k\in\mathbb{Z}).
  • A derivada precisará ser calculada em pontos onde a função está definida (onde \operatorname{sen} x>0).

Passo 2

Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (com explicação passo a passo):
  1. Derivada de uma constante multiplicando uma função: se y=c\cdot u(x) com c constante, então
\dfrac{d}{dx}\bigl[c\cdot u(x)\bigr]=c\cdot u'(x).
Isso significa que a constante sai fora da derivada — útil aqui porque temos o fator 2.
  1. Regra da cadeia: se y=f(g(x)), então
\dfrac{dy}{dx}=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Na prática: para derivar uma composição, derivamos a função externa avaliada na interna e multiplicamos pela derivada da função interna.
  1. Derivada do logaritmo natural: se f(u)=\ln u (com u>0), então
f'(u)=\dfrac{1}{u}.
Usando a regra da cadeia, para \ln(u(x)) temos
\dfrac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
  1. Derivada da função seno: para u(x)=\operatorname{sen} x,
u'(x)=\operatorname{cos} x.
Com essas peças: aplicar constante fora, depois regra da cadeia para \ln(\operatorname{sen} x), e usar (\operatorname{sen} x)'=\operatorname{cos} x.

Passo 3

Aplicando a regra do passo 2 diretamente à nossa função.
Primeiro, tiramos a constante 2 para fora da derivada:
\dfrac{dy}{dx}=2\cdot \dfrac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)\Bigr].
Agora usamos a fórmula da derivada do logaritmo composto \dfrac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr)=\dfrac{u'(x)}{u(x)} com u(x)=\operatorname{sen} x:
\dfrac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)\Bigr] =\dfrac{\dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)}{\operatorname{sen} x}.
Substituindo \dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)=\operatorname{cos} x, obtemos
\dfrac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)\Bigr] =\dfrac{\operatorname{cos} x}{\operatorname{sen} x}.

Passo 4

Multiplicando pelo 2 que estava fora:
\dfrac{dy}{dx}=2\cdot \dfrac{\operatorname{cos} x}{\operatorname{sen} x}.
Podemos escrever essa fração usando a função cotangente, lembrando que \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}. Assim a forma mais compacta é
\dfrac{dy}{dx}=2\cot x.

Passo 5

Sobre o domínio da derivada: a expressão 2\cot x só faz sentido quando \operatorname{sen} x\neq 0. Além disso, a função original \ln(\operatorname{sen} x) está definida apenas onde \operatorname{sen} x>0. Logo a derivada real que calculamos vale nos mesmos pontos onde a função está definida, isto é em x tais que \operatorname{sen} x>0 (por exemplo x\in(2k\pi,(2k+1)\pi), k\in\mathbb{Z}).
Dica prática para a prova: sempre comece tirando constantes para fora, aplique a regra da cadeia no \ln, e lembre que (\sin x)'=\cos x. Se vir \dfrac{\cos x}{\sin x}, pense imediatamente em \cot x para simplificar.

Resposta

y'=2\cot x

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