Calcule a derivada das funções abaixo no ponto indicado:
(b) g(x)=e^sen(x^2), no ponto x=raizpi2.

Passo 1

A questão pede a derivada de g(x)=e^sen(x^2) no ponto x=raizpi2. O conteúdo principal é a regra da cadeia, pois temos uma exponencial composta com uma função trigonométrica composta com uma função quadrática.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, primeiro identificamos as funções internas e externas. Definimos u(x)=sen(x^2) e v(u)=e^u. Então g(x)=v(u(x)). A derivada é dada por g'(x)=v'(u(x))cdot u'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x): como u(x)=sen(x^2), temos
u'(x)=cos(x^2)cdotddx(x^2)=cos(x^2)cdot2x
E como v(u)=e^u, então v'(u)=e^u. Logo
g'(x)=e^sen(x^2)cdotl(cos(x^2)cdot2xr)=2x,e^sen(x^2)cos(x^2)
Agora avaliamos em x=raizpi2. Nesse ponto temos x^2=pi2, então sen(x^2)=senl(tfracpi2r)=1 e cos(x^2)=cosl(tfracpi2r)=0. Portanto
final_answer
g’\bigl(\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\bigr)=2\sqrt{\tfrac{\pi}{2}},e^1\cdot0=0

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