Resolva os PVIs sabendo que são EDOs lineares.
l(1+x^2) y^prime+4 x y=1(1+x^2)^2 y(1)=0

Passo 1

Temos o PVI com a EDO linear de primeira ordem (1+x^2),y' + 4x,y = 1(1+x^2)^2 e condição inicial y(1)=0. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por (1+x^2) para obter a forma padrão y' + P(x)y = Q(x):
y' + 4x1+x^2,y = 1(1+x^2)^3

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = expl(integral 4x1+x^2,dxr) = expl(2ln(1+x^2)r) = (1+x^2)^2

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por mu(x) e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de mu(x)y:
(1+x^2)^2,y' + (1+x^2)^24x1+x^2,y = (1+x^2)^2(1+x^2)^3 l((1+x^2)^2,yr)' = 11+x^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x para obter a solução geral:
(1+x^2)^2,y = integral 11+x^2,dx = arctan x + C
Isolando y:
y = arctan x + C(1+x^2)^2

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=0 para determinar C:
0 = arctan(1) + C(1+1^2)^2 = pi4 + C4 implies C = -pi4
Substituindo esse valor de C na solução geral, obtemos a solução particular do PVI.

Resposta

y(x) = \frac{\arctan x - \tfrac{\pi}{4}}{(1+x2)2}

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