Nos exercícios 17 e 18 resolva usando a substituição x=e^t.
x^3 y^prime prime prime-3 x^2 y^prime prime+6 x y^prime-6 y=3, x neq 0

Passo 1

Resumo: Temos a EDO de Euler de terceira ordem
x^3y''' - 3x^2y'' + 6x y' - 6y = 3, xneq0,
e o enunciado pede para usar a mudança de variável x = e^t. O conteúdo é a transformação de uma EDO de coeficientes variáveis (Euler–Cauchy) em uma EDO de coeficientes constantes, e vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas e resolver a EDO resultante.

Passo 2

Fazendo a troca x = e^t, definimos Y(t) = y(e^t). Como t = ln x, usamos
dydx = dYdtcdotdtdx = Y'x
Logo x y' = Y'.

Passo 3

Para a segunda derivada, aplicamos a regra da cadeia de novo:
y'' = ddxl(Y'xr) = -Y'x^2 + 1xdY'dx = Y'' - Y'x^2
Então x^2 y'' = Y'' - Y'.

Passo 4

Para a terceira derivada, diferenciamos y''=(Y''-Y')/x^2:
y''' = ddxl(Y'' - Y'x^2r) = -2Y''-Y'x^3 + 1x^2ddx(Y''-Y') = Y''' - 3Y'' +2Y'x^3
Então x^3 y''' = Y''' - 3Y'' +2Y'.

Passo 5

Substituindo tudo na EDO original, temos
(Y''' -3Y'' +2Y') -3(Y''-Y') +6Y' -6Y =3
Reorganizando,
Y''' -6Y'' +11Y' -6Y =3,
uma EDO linear de coeficientes constantes.

Passo 6

Resolvendo a parte homogênea r^3 -6r^2 +11r -6 = (r-1)(r-2)(r-3), , o polinômio característico é
r=1,2,3
com raízes Yh = C1 e^t + C2 e^2t + C3 e^3t . Assim

Passo 7

Para um particular, como o termo independente é constante (3), tentamos Yp = A. Substituindo,
0 -6!A +0 +0 =3 implies A = -tfrac12
Logo Yp = -tfrac12.

Passo 8

A solução geral em t é
Y(t) = C1 e^t + C2 e^2t + C3 e^3t - tfrac12
Voltando para x, usamos e^t=x, e^2t=x^2, e^3t=x^3.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1 x + C2 x^2 + C3 x^3 - tfrac12

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