Nos exercícios 17 e 18 resolva usando a substituição
.
Passo 1
Resumo: Temos a EDO de Euler de terceira ordem
e o enunciado pede para usar a mudança de variável
. O conteúdo é a transformação de uma EDO de coeficientes variáveis (Euler–Cauchy) em uma EDO de coeficientes constantes, e vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas e resolver a EDO resultante.
Passo 2
Fazendo a troca
, definimos
. Como
, usamos
Logo
.
Passo 3
Para a segunda derivada, aplicamos a regra da cadeia de novo:
Então
.
Passo 4
Para a terceira derivada, diferenciamos
:
Então
.
Passo 5
Substituindo tudo na EDO original, temos
Reorganizando,
uma EDO linear de coeficientes constantes.
Passo 6
Resolvendo a parte homogênea
, o polinômio característico é
com raízes
. Assim
Passo 7
Para um particular, como o termo independente é constante (3), tentamos
. Substituindo,
Logo
.
Passo 8
A solução geral em
é
Voltando para
, usamos
,
,
.
Resposta
A solução geral é