Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos dados usando a definição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = \cos x $ no ponto $ x = \frac{\pi}{6} $ usando a definição de derivada. Para isso, vamos usar um pouquinho de trigonometria e o conceito de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função $ f $ em um ponto $ a $ é o limite da razão entre a variação de $ f $ e a variação de $ x $ quando essa variação tende a zero. Em fórmula, fica assim:
Aqui, $ h $ representa uma pequena mudança em $ x $.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função $ f(x) = \cos x $ no ponto $ a = \frac{\pi}{6} $, substituímos na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão usando uma identidade trigonométrica para o cosseno da soma de dois ângulos:
Aplicando isso, temos:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Isso pode ser reorganizado para:
Passo 6
Sabemos que quando $ h $ tende a zero:
Então, aplicando esses limites:
Passo 7
Calculando $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $, que sabemos ser $ \frac{1}{2} $:
Resposta
A derivada de $ f(x) = \cos x $ no ponto $ x = \frac{\pi}{6} $ é $ f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} $.