Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos dados usando a definição: f(x)=cos x ; x=pi6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = \cos x $ no ponto $ x = \frac{\pi}{6} $ usando a definição de derivada. Para isso, vamos usar um pouquinho de trigonometria e o conceito de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função $ f $ em um ponto $ a $ é o limite da razão entre a variação de $ f $ e a variação de $ x $ quando essa variação tende a zero. Em fórmula, fica assim:
f
Aqui, $ h $ representa uma pequena mudança em $ x $.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função $ f(x) = \cos x $ no ponto $ a = \frac{\pi}{6} $, substituímos na fórmula:
f(x) = cos x

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão usando uma identidade trigonométrica para o cosseno da soma de dois ângulos:
cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
Aplicando isso, temos:
cos(pi6 + h) = cos(pi6) cos h - sin(pi6) sin h

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:
f'(pi6) = limh to 0 cos(pi6) cos h - sin(pi6) sin h - cos(pi6)h
Isso pode ser reorganizado para:
f'(pi6) = limh to 0 cos(pi6)(cos h - 1) - sin(pi6) sin hh

Passo 6

Sabemos que quando $ h $ tende a zero:
h
Então, aplicando esses limites:
limh to 0 cos h - 1h = 0 e limh to 0 sin hh = 1

Passo 7

Calculando $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $, que sabemos ser $ \frac{1}{2} $:
sin(pi6)

Resposta

A derivada de $ f(x) = \cos x $ no ponto $ x = \frac{\pi}{6} $ é $ f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} $.

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