Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos dados usando a definição: f(x)=raizx ; x=9

Passo 1

A função é f(x)=√x e queremos a derivada no ponto x=9 usando a definição de derivada. Vamos precisar da fórmula f′(a)=limₕ→0 [f(a+h)−f(a)]/h e usar racionalização para resolver o limite.

Passo 2

Escrevemos o quociente diferencial em termos de h:
f'(9)=limhto0raiz9+h-raiz9h=limhto0raiz9+h-3h

Passo 3

Para resolver o limite, racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado raiz9+h+3:
raiz9+h-3hcdotraiz9+h+3raiz9+h+3=(9+h)-9h,(raiz9+h+3)=hh,(raiz9+h+3)

Passo 4

Cancelamos h no numerador e denominador e então fazemos h→0:
limhto01raiz9+h+3=1raiz9+3=13+3=16

Resposta

f'(9)=tfrac16

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