Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos indicados, isto é, calcule f^{\prime}\left(x_{o}\right) :
f(x)=\frac{2 \operatorname{sen}(3 x)+3}{3+2 \cos (2 x)}, \quad x_{o}=0 \quad.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2\operatorname{sen}(3x)+3}{3+2\cos(2x)}
e pede para calcular f^{\prime}\left(x_{0}\right) no ponto x_{0}=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma razão (quociente) entre uma expressão trigonométrica no numerador e outra no denominador.
  • O ponto onde queremos a derivada é x_{0}=0.
  • É importante observar se o denominador é diferente de zero em x_{0} para garantir que a função é bem definida ali.

Passo 2

Verificação rápida do denominador em x_{0}=0:
3+2\cos(2\cdot 0)=3+2\cos(0)=3+2\cdot 1=5\neq 0.
Portanto a função está bem definida em x=0 e é diferenciável ali (é razão de funções diferenciáveis com denominador não nulo).
Agora a estratégia de cálculo: como f é um quociente, vamos usar a regra do quociente (também chamada de regra do cociente). Vou explicar essa regra e as ferramentas que usarei:
  • Regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq 0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x) e v(x) são as funções do numerador e denominador, respectivamente.
  • Regra da cadeia para funções trigonométricas: se g(x)=\operatorname{sen}(ax) então g'(x)=a\cos(ax); se h(x)=\cos(bx) então h'(x)=-b\operatorname{sen}(bx). Ou seja, ao derivar uma composição \sin(\text{linear}) ou \cos(\text{linear}) multiplica-se pela derivada da parte interna (o coeficiente).

Passo 3

Identificamos u e v:
u(x)=2\operatorname{sen}(3x)+3,\qquad v(x)=3+2\cos(2x).
Derivando termo a termo, usando a regra da cadeia:
  • Para u(x):
u'(x)=2\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(3x)=2\cdot(3\cos(3x))=6\cos(3x).
Expliquei: derivada de \operatorname{sen}(3x) é 3\cos(3x) porque a derivada de \operatorname{sen}(t) é \cos(t) e t=3x tem derivada 3.
  • Para v(x):
v'(x)=2\cdot\frac{d}{dx}\cos(2x)=2\cdot(-2\operatorname{sen}(2x))=-4\operatorname{sen}(2x).
Expliquei: derivada de \cos(2x) é -2\operatorname{sen}(2x), e multiplica-se por 2 do coeficiente exterior.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{6\cos(3x)\big(3+2\cos(2x)\big)-\big(2\operatorname{sen}(3x)+3\big)\big(-4\operatorname{sen}(2x)\big)}{\big(3+2\cos(2x)\big)^{2}}.

Passo 5

Simplificando o numerador (tirando o sinal negativo):
f'(x)=\frac{6\cos(3x)\big(3+2\cos(2x)\big)+4\operatorname{sen}(2x)\big(2\operatorname{sen}(3x)+3\big)}{\big(3+2\cos(2x)\big)^{2}}.
Este é o f'(x) geral. Agora vamos avaliar em x_{0}=0.

Passo 6

Avaliação em x=0. Primeiro os valores trigonométricos em 0:
\cos(0)=1,\qquad \operatorname{sen}(0)=0.
Portanto
\cos(3\cdot 0)=\cos(0)=1,\qquad \operatorname{sen}(3\cdot 0)=\operatorname{sen}(0)=0,
\cos(2\cdot 0)=\cos(0)=1,\qquad \operatorname{sen}(2\cdot 0)=\operatorname{sen}(0)=0.
Substituindo em f'(x):
\text{numerador em }0 = 6\cdot 1\cdot\big(3+2\cdot 1\big)+4\cdot 0\cdot\big(2\cdot 0+3\big) =6\cdot(3+2)+0=6\cdot 5=30.
\text{denominador em }0 =\big(3+2\cdot 1\big)^{2}=5^{2}=25.

Passo 7

Logo
f'\big(0\big)=\frac{30}{25}=\frac{6}{5}.

Resposta

\dfrac{6}{5}

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