Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos indicados, isto é, calcule
:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma razão (quociente) entre uma expressão trigonométrica no numerador e outra no denominador.
- O ponto onde queremos a derivada é
. - É importante observar se o denominador é diferente de zero em
para garantir que a função é bem definida ali.
Passo 2
Verificação rápida do denominador em
:
Portanto a função está bem definida em
e é diferenciável ali (é razão de funções diferenciáveis com denominador não nulo).
Agora a estratégia de cálculo: como
é um quociente, vamos usar a regra do quociente (também chamada de regra do cociente). Vou explicar essa regra e as ferramentas que usarei:
- Regra do quociente: se
com e diferenciáveis e , então
Aqui
e
são as funções do numerador e denominador, respectivamente.
- Regra da cadeia para funções trigonométricas: se
então ; se então . Ou seja, ao derivar uma composição ou multiplica-se pela derivada da parte interna (o coeficiente).
Passo 3
Identificamos
e
:
Derivando termo a termo, usando a regra da cadeia:
- Para
:
Expliquei: derivada de
é
porque a derivada de
é
e
tem derivada
.
- Para
:
Expliquei: derivada de
é
, e multiplica-se por
do coeficiente exterior.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Simplificando o numerador (tirando o sinal negativo):
Este é o
geral. Agora vamos avaliar em
.
Passo 6
Avaliação em
. Primeiro os valores trigonométricos em
:
Portanto
Substituindo em
:
Passo 7
Logo