Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos indicados, isto é, calcule f^{\prime}\left(x_{o}\right) :
f(x)=\operatorname{tg}\left(\frac{x^{2}+3 x}{e^{x^{2}}}\right), \quad x_{o}=0.

Passo 1

O enunciado dá a função e o ponto onde queremos a derivada:
f(x)=\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{x^{2}+3x}{e^{x^{2}}}\right) e x_{o}=0.
O que pede: calcular f^{\prime}(0), a derivada de f no ponto x=0.
As informações relevantes: a função é uma composição envolvendo a tangente e uma função racional-exponencial no argumento.

Passo 2

Ideia e regra que vamos usar (cadeia):
Se f(x)=\operatorname{tg}(u(x)), então, pela regra da cadeia,
f'(x)=\operatorname{sec}^{2}\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Explicando: a derivada da função externa \operatorname{tg}(t) em relação a t é \dfrac{d}{dt}\operatorname{tg}(t)=\operatorname{sec}^{2}(t). A regra da cadeia diz que, ao compor com u(x), multiplica-se pela derivada u'(x).

Passo 3

Defina a função interior u(x):
u(x)=\dfrac{x^{2}+3x}{e^{x^{2}}}.
Para facilitar a diferenciação, reescrevo como produto com exponencial negativa:
u(x)=(x^{2}+3x)\,e^{-x^{2}}.
Antes de derivar, calcule u(0) (vai aparecer na avaliação de \operatorname{sec}^{2}\big(u(0)\big)):
u(0)=\dfrac{0^{2}+3\cdot0}{e^{0^{2}}}=0.

Passo 4

Calcule u'(x) usando a regra do produto. Se p(x)=x^{2}+3x e q(x)=e^{-x^{2}}, então
p'(x)=2x+3,\qquad q'(x)=e^{-x^{2}}\cdot(-2x).
Aplicando a regra do produto (pq)'=p'q+pq', obtemos
u'(x)=(2x+3)e^{-x^{2}}+(x^{2}+3x)\big(-2x\big)e^{-x^{2}}.
Fatorando e^{-x^{2}},
u'(x)=e^{-x^{2}}\big[(2x+3)-2x(x^{2}+3x)\big].

Passo 5

Avalie u'(x) em x=0. Substituindo x=0 na expressão fatorada:
u'(0)=e^{0}\big[(2\cdot0+3)-2\cdot0(0^{2}+3\cdot0)\big]=1\cdot(3-0)=3.

Passo 6

Agora volte para f'(x)=\operatorname{sec}^{2}\big(u(x)\big)\,u'(x) e avalie em x=0. Já sabemos u(0)=0 e u'(0)=3. Como \operatorname{sec}(t)=1/\cos(t) e \cos(0)=1, temos \operatorname{sec}^{2}(0)=1. Portanto
f'(0)=\operatorname{sec}^{2}\big(u(0)\big)\cdot u'(0)=\operatorname{sec}^{2}(0)\cdot 3=1\cdot 3=3.

Resposta

f'(0)=3

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