Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos indicados, isto é, calcule
:
.
Passo 1
O enunciado dá a função e o ponto onde queremos a derivada:
e
.
O que pede: calcular , a derivada de
no ponto
.
As informações relevantes: a função é uma composição envolvendo a tangente e uma função racional-exponencial no argumento.
O que pede: calcular
As informações relevantes: a função é uma composição envolvendo a tangente e uma função racional-exponencial no argumento.
Passo 2
Ideia e regra que vamos usar (cadeia):
Se , então, pela regra da cadeia,
Se
Explicando: a derivada da função externa
em relação a
é
. A regra da cadeia diz que, ao compor com
, multiplica-se pela derivada
.
Passo 3
Defina a função interior
:
Para facilitar a diferenciação, reescrevo como produto com exponencial negativa:
Antes de derivar, calcule
(vai aparecer na avaliação de
):
Passo 4
Calcule
usando a regra do produto. Se
e
, então
Aplicando a regra do produto
, obtemos
Fatorando
,
Passo 5
Avalie
em
. Substituindo
na expressão fatorada:
Passo 6
Agora volte para
e avalie em
. Já sabemos
e
. Como
e
, temos
. Portanto