Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos indicados, isto é, calcule f^{\prime}\left(x_{o}\right) :
f(x)=\sqrt{1+\sqrt{x}}, \quad x_{o}=4.

Passo 1

O enunciado nos dá a função e o ponto onde devemos calcular a derivada:
  • Função: f(x)=\sqrt{1+\sqrt{x}}.
  • Ponto: x_{o}=4.
O que é pedido: calcular f^{\prime}\left(x_{o}\right), ou seja, a derivada de f avaliada em x=4.

Passo 2

Observação sobre a estrutura da função (sem resolver ainda): a função é uma composição de raízes aninhadas — primeiro aparece \sqrt{x} e depois \sqrt{\,1+\;(\cdot)\,}. Quando temos funções compostas, o método natural para obter a derivada é aplicar a regra da cadeia (mostro e explico isso no próximo passo).

Passo 3

Explicando a regra da cadeia de forma bem didática: se \;y=g(h(x))\;, então para derivar y em relação a x multiplica-se a derivada da função externa avaliada na função interna pela derivada da função interna; simbolicamente:
\frac{dy}{dx}=g'(h(x))\cdot h'(x).
No nosso caso há duas composições (três camadas): uma raiz externa, uma soma, e uma raiz interna. Para simplificar, vamos definir funções auxiliares.

Passo 4

Definição das funções auxiliares e suas derivadas (usando a regra do poder/potência):
  • Defina u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}. Pela regra do potência, a derivada é
u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Explicação curta da regra do potência: para x^{n} temos \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aqui n=\tfrac12, então \dfrac{d}{dx}x^{1/2}=\tfrac12 x^{-1/2}.
  • Defina v(u)=1+u. Esta é uma soma simples, então
v'(u)=1,
pois a derivada de u é 1 e a derivada da constante 1 é 0.
  • Defina w(v)=\sqrt{v}=v^{1/2}. Aplicando novamente a regra do potência,
w'(v)=\frac{1}{2}v^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{v}}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia para a composição completa f(x)=w(v(u(x))). Pela regra da cadeia em cadeia (multiplicando as derivadas das camadas de fora para dentro):
f'(x)=w'(v(u(x)))\cdot v'(u(x))\cdot u'(x).
Substituindo as derivadas que encontramos:
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+\sqrt{x}}}\cdot 1\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Multiplicando:
f'(x)=\frac{1}{4\,\sqrt{x}\,\sqrt{1+\sqrt{x}}}.
Também podemos escrever de forma equivalente:
f'(x)=\frac{1}{4}x^{-1/2}\bigl(1+x^{1/2}\bigr)^{-1/2}.

Passo 6

Avaliação em x_{o}=4. Primeiro calculemos os termos necessários:
\sqrt{4}=2,\qquad 1+\sqrt{4}=1+2=3.
Substituindo em f'(x):
f'(4)=\frac{1}{4\sqrt{4}\,\sqrt{1+\sqrt{4}}}=\frac{1}{4\cdot 2\cdot \sqrt{3}}=\frac{1}{8\sqrt{3}}.
(Se preferir a forma com denominador racionalizado, multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{3} e obtém-se \dfrac{\sqrt{3}}{24}.)

Resposta

\dfrac{1}{8\sqrt{3}}

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