Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos indicados, isto é, calcule
:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função e o ponto onde devemos calcular a derivada:
- Função:
. - Ponto:
.
O que é pedido: calcular
, ou seja, a derivada de
avaliada em
.
Passo 2
Observação sobre a estrutura da função (sem resolver ainda): a função é uma composição de raízes aninhadas — primeiro aparece
e depois
. Quando temos funções compostas, o método natural para obter a derivada é aplicar a regra da cadeia (mostro e explico isso no próximo passo).
Passo 3
Explicando a regra da cadeia de forma bem didática: se
, então para derivar
em relação a
multiplica-se a derivada da função externa avaliada na função interna pela derivada da função interna; simbolicamente:
No nosso caso há duas composições (três camadas): uma raiz externa, uma soma, e uma raiz interna. Para simplificar, vamos definir funções auxiliares.
Passo 4
Definição das funções auxiliares e suas derivadas (usando a regra do poder/potência):
- Defina
. Pela regra do potência, a derivada é
Explicação curta da regra do potência: para
temos
. Aqui
, então
.
- Defina
. Esta é uma soma simples, então
pois a derivada de
é 1 e a derivada da constante 1 é 0.
- Defina
. Aplicando novamente a regra do potência,
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia para a composição completa
. Pela regra da cadeia em cadeia (multiplicando as derivadas das camadas de fora para dentro):
Substituindo as derivadas que encontramos:
Multiplicando:
Também podemos escrever de forma equivalente:
Passo 6
Avaliação em
. Primeiro calculemos os termos necessários:
Substituindo em
:
(Se preferir a forma com denominador racionalizado, multiplica-se numerador e denominador por
e obtém-se
.)