Dados dois conjuntos
não vazios e limitados. Defina o conjunto
e
. Prove que
e
.
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos
que são não vazios e limitados. Define-se
O que o exercício pede é provar duas igualdades:
e
Informações relevantes dadas:
-
e são não vazios (existem elementos em cada um). -
e são limitados (logo possuem ínfimos e supremos finitos em ).
Passo 2
Lembrando (definição e interpretação): para um conjunto não vazio e limitado
,
-
é o menor majorante de : é um número tal que para todo e, para qualquer , existe com . -
é o maior minorante de : é um número tal que para todo e, para qualquer , existe com .
Essas propriedades serão usadas para comparar elementos e para aproximar supremos/ínfimos por elementos do conjunto.
Passo 3
Prova da igualdade para o supremo: primeiro mostramos a desigualdade
.
Tomemos quaisquer
e
. Como
é um majorante de
e
é um majorante de
, temos
Somando as duas desigualdades:
Como
é um elemento arbitrário de
, concluímos que todo elemento de
é
. Portanto
é um majorante de
, o que implica
Passo 4
Agora mostramos a desigualdade oposta, isto é
, usando a propriedade de aproximação do supremo.
Sejam
arbitrário. Pela definição de supremo existem
e
tais que
Somando,
Como
, segue que
, sendo o supremo de
, satisfaz
Isto vale para todo
, então passando ao limite
obtemos
Passo 5
Com as duas desigualdades das Passos 3 e 4 combinadas temos
logo necessariamente
Isso prova a segunda igualdade pedida.
Passo 6
Prova da igualdade para o ínfimo: primeiro mostramos a desigualdade
.
Tomemos quaisquer
e
. Como
é um minorante de
e
é um minorante de
, temos
Somando:
Como
é um elemento qualquer de
, isso mostra que
é um minorante de
. Portanto o maior minorante
satisfaz
Passo 7
Agora mostramos a desigualdade oposta
usando aproximação do ínfimo.
Seja
. Pela propriedade do ínfimo existem
e
tais que
Somando,
Como
, o ínfimo
, sendo o maior minorante, satisfaz
Como isso vale para todo
, passando ao limite
obtemos
Passo 8
Com as duas desigualdades das Passos 6 e 7 combinadas temos
logo necessariamente
Isso prova a primeira igualdade pedida.