Dados dois conjuntos A, B \subset \mathbb{R} não vazios e limitados. Defina o conjunto A+B=\{x+y / x \in A e y \in B\}. Prove que \inf (A+B)=\inf (A)+\inf (B) e \sup (A+B)=\sup (A)+\sup (B).

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos A,B\subset\mathbb{R} que são não vazios e limitados. Define-se
A+B=\{x+y \mid x\in A,\\ y\in B\}.
O que o exercício pede é provar duas igualdades:
\inf(A+B)=\inf(A)+\inf(B)
e
\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B).
Informações relevantes dadas:
  • A e B são não vazios (existem elementos em cada um).
  • A e B são limitados (logo possuem ínfimos e supremos finitos em \mathbb{R}).

Passo 2

Lembrando (definição e interpretação): para um conjunto não vazio e limitado S\subset\mathbb{R},
  • \sup S é o menor majorante de S: é um número tal que s\le\sup S para todo s\in S e, para qualquer \varepsilon>0, existe s\in S com s>\sup S-\varepsilon.
  • \inf S é o maior minorante de S: é um número tal que \inf S\le s para todo s\in S e, para qualquer \varepsilon>0, existe s\in S com s<\inf S+\varepsilon.
    Essas propriedades serão usadas para comparar elementos e para aproximar supremos/ínfimos por elementos do conjunto.

Passo 3

Prova da igualdade para o supremo: primeiro mostramos a desigualdade \sup(A+B)\le\sup(A)+\sup(B).
Tomemos quaisquer a\in A e b\in B. Como \sup(A) é um majorante de A e \sup(B) é um majorante de B, temos
a\le\sup(A)\quad\text{e}\quad b\le\sup(B).
Somando as duas desigualdades:
a+b \le \sup(A)+\sup(B).
Como a+b é um elemento arbitrário de A+B, concluímos que todo elemento de A+B é \le \sup(A)+\sup(B). Portanto \sup(A)+\sup(B) é um majorante de A+B, o que implica
\sup(A+B)\le \sup(A)+\sup(B).

Passo 4

Agora mostramos a desigualdade oposta, isto é \sup(A+B)\ge\sup(A)+\sup(B), usando a propriedade de aproximação do supremo.
Sejam \varepsilon>0 arbitrário. Pela definição de supremo existem a\in A e b\in B tais que
a>\sup(A)-\frac{\varepsilon}{2}\quad\text{e}\quad b>\sup(B)-\frac{\varepsilon}{2}.
Somando,
a+b > \bigl(\sup(A)-\tfrac{\varepsilon}{2}\bigr)+\bigl(\sup(B)-\tfrac{\varepsilon}{2}\bigr) = \sup(A)+\sup(B)-\varepsilon.
Como a+b\in A+B, segue que \sup(A+B), sendo o supremo de A+B, satisfaz
\sup(A+B)\ge a+b > \sup(A)+\sup(B)-\varepsilon.
Isto vale para todo \varepsilon>0, então passando ao limite \varepsilon\to0 obtemos
\sup(A+B)\ge \sup(A)+\sup(B).

Passo 5

Com as duas desigualdades das Passos 3 e 4 combinadas temos
\sup(A+B)\le \sup(A)+\sup(B)\quad\text{e}\quad \sup(A+B)\ge \sup(A)+\sup(B),
logo necessariamente
\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B).
Isso prova a segunda igualdade pedida.

Passo 6

Prova da igualdade para o ínfimo: primeiro mostramos a desigualdade \inf(A+B)\ge\inf(A)+\inf(B).
Tomemos quaisquer a\in A e b\in B. Como \inf(A) é um minorante de A e \inf(B) é um minorante de B, temos
\inf(A)\le a\quad\text{e}\quad \inf(B)\le b.
Somando:
\inf(A)+\inf(B)\le a+b.
Como a+b é um elemento qualquer de A+B, isso mostra que \inf(A)+\inf(B) é um minorante de A+B. Portanto o maior minorante \inf(A+B) satisfaz
\inf(A+B)\ge \inf(A)+\inf(B).

Passo 7

Agora mostramos a desigualdade oposta \inf(A+B)\le\inf(A)+\inf(B) usando aproximação do ínfimo.
Seja \varepsilon>0. Pela propriedade do ínfimo existem a\in A e b\in B tais que
a<\inf(A)+\frac{\varepsilon}{2}\quad\text{e}\quad b<\inf(B)+\frac{\varepsilon}{2}.
Somando,
a+b < \bigl(\inf(A)+\tfrac{\varepsilon}{2}\bigr)+\bigl(\inf(B)+\tfrac{\varepsilon}{2}\bigr) = \inf(A)+\inf(B)+\varepsilon.
Como a+b\in A+B, o ínfimo \inf(A+B), sendo o maior minorante, satisfaz
\inf(A+B)\le a+b < \inf(A)+\inf(B)+\varepsilon.
Como isso vale para todo \varepsilon>0, passando ao limite \varepsilon\to0 obtemos
\inf(A+B)\le \inf(A)+\inf(B).

Passo 8

Com as duas desigualdades das Passos 6 e 7 combinadas temos
\inf(A+B)\ge \inf(A)+\inf(B)\quad\text{e}\quad \inf(A+B)\le \inf(A)+\inf(B),
logo necessariamente
\inf(A+B)=\inf(A)+\inf(B).
Isso prova a primeira igualdade pedida.

Resposta

\inf(A+B)=\inf(A)+\inf(B)
\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)

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