Seja A=\left\{\frac{1}{n} / n \in \mathbb{N}\right\}. Mostre que \inf A=0 e \sup A=1.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
A=\left\{\frac{1}{n} \mid n\in\mathbb{N}\right\}.
O que nos é pedido:
  • Mostrar que \inf A = 0.
  • Mostrar que \sup A = 1.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Para cada n\in\mathbb{N} temos um elemento 1/n em A.
  • Os números 1/n são positivos e decrescentes quando n aumenta (por exemplo 1/1,1/2,1/3,\dots).

Passo 2

Definições e estratégia didática (o que preciso provar para cada caso):
  • Para provar que um número L é uma cota inferior de A devo mostrar que L\le a para todo a\in A. Para que L seja a infimum (menor cota inferior) também preciso mostrar que nenhum número maior que L é cota inferior (equivalente: para todo \varepsilon>0 existe a\in A com a<L+\varepsilon).
  • Para provar que um número U é uma cota superior de A devo mostrar que a\le U para todo a\in A. Para que U seja a supremum (menor cota superior) também devo mostrar que qualquer número menor que U deixa de ser cota superior (equivalente: para todo \varepsilon>0 existe a\in A com a>U-\varepsilon).
Vou aplicar essas definições ao caso concreto: primeiro trato de 0 como candidata a infimum; depois trato de 1 como candidata a supremum.

Passo 3

Provar que 0 é uma cota inferior de A.
Tomemos um elemento arbitrário de A. Ele tem a forma \dfrac{1}{n} com n\in\mathbb{N}. Como toda n\in\mathbb{N} é positiva, temos
\frac{1}{n}\ge 0.
Isso vale para todo elemento de A. Logo 0 é uma cota inferior de A.
Comentário didático: mostrar que 0 é cota inferior foi simples — basta ver que todos os 1/n são não negativos.

Passo 4

Provar que 0 é a maior cota inferior (ou seja, \inf A=0).
Pelo critério que escrevi no Passo 2, preciso mostrar que qualquer número maior que 0 não pode ser cota inferior. Seja \varepsilon>0. Vou construir um elemento de A menor que \varepsilon, o que provará que nenhum número maior que 0 é cota inferior.
Como \varepsilon>0, existe um natural n tal que
n>\frac{1}{\varepsilon}.
Isto é um uso do fato de que os naturais são arbitrariamente grandes (propriedade arquimediana). Tomando recíproco da desigualdade n>1/\varepsilon (todas as quantias positivas), obtemos
\frac{1}{n}<\varepsilon.
Mas \dfrac{1}{n}\in A. Portanto, para cada \varepsilon>0 existe a\in A com a<\varepsilon. Em outras palavras, nenhum número positivo pode ficar estritamente acima de 0 e ainda ser cota inferior. Assim 0 é a maior cota inferior de A.
Comentário didático com exemplo numérico: se \varepsilon=0,01 então posso pegar n=101 e 1/101<0,01. Isso ilustra a construção.

Passo 5

Provar que 1 é uma cota superior de A.
Para todo n\in\mathbb{N} tem-se n\ge 1, então
\frac{1}{n}\le 1.
Portanto 1 é uma cota superior de A. Observação importante: 1 pertence a A porque para n=1 obtemos 1/1=1. Assim 1 é, na verdade, máximo de A.

Passo 6

Provar que 1 é a menor cota superior (ou seja, \sup A=1).
Se houvesse uma cota superior U menor que 1, isto é U<1, então U não poderia ser cota superior porque o elemento 1\in A satisfaz 1>U. Logo nenhum número menor que 1 é cota superior. Assim 1 é a menor cota superior de A.
Comentário didático: aqui nem precisei do argumento arquimediano — bastou notar que o próprio número 1 está no conjunto, o que força a supremum a ser pelo menos 1; combinado com o fato de que tudo é ≤1, conclui-se facilmente.

Resposta

\inf A = 0
\sup A = 1

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