Seja
. Mostre que
e
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
O que nos é pedido:
- Mostrar que
. - Mostrar que
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Para cada
temos um elemento em . - Os números
são positivos e decrescentes quando aumenta (por exemplo ).
Passo 2
Definições e estratégia didática (o que preciso provar para cada caso):
- Para provar que um número
é uma cota inferior de devo mostrar que para todo . Para que seja a infimum (menor cota inferior) também preciso mostrar que nenhum número maior que é cota inferior (equivalente: para todo existe com ). - Para provar que um número
é uma cota superior de devo mostrar que para todo . Para que seja a supremum (menor cota superior) também devo mostrar que qualquer número menor que deixa de ser cota superior (equivalente: para todo existe com ).
Vou aplicar essas definições ao caso concreto: primeiro trato de 0 como candidata a infimum; depois trato de 1 como candidata a supremum.
Passo 3
Provar que
é uma cota inferior de
.
Tomemos um elemento arbitrário de
. Ele tem a forma
com
. Como toda
é positiva, temos
Isso vale para todo elemento de
. Logo
é uma cota inferior de
.
Comentário didático: mostrar que
é cota inferior foi simples — basta ver que todos os
são não negativos.
Passo 4
Provar que
é a maior cota inferior (ou seja,
).
Pelo critério que escrevi no Passo 2, preciso mostrar que qualquer número maior que
não pode ser cota inferior. Seja
. Vou construir um elemento de
menor que
, o que provará que nenhum número maior que
é cota inferior.
Como
, existe um natural
tal que
Isto é um uso do fato de que os naturais são arbitrariamente grandes (propriedade arquimediana). Tomando recíproco da desigualdade
(todas as quantias positivas), obtemos
Mas
. Portanto, para cada
existe
com
. Em outras palavras, nenhum número positivo pode ficar estritamente acima de
e ainda ser cota inferior. Assim
é a maior cota inferior de
.
Comentário didático com exemplo numérico: se
então posso pegar
e
. Isso ilustra a construção.
Passo 5
Provar que
é uma cota superior de
.
Para todo
tem-se
, então
Portanto
é uma cota superior de
. Observação importante:
pertence a
porque para
obtemos
. Assim
é, na verdade, máximo de
.
Passo 6
Provar que
é a menor cota superior (ou seja,
).
Se houvesse uma cota superior
menor que
, isto é
, então
não poderia ser cota superior porque o elemento
satisfaz
. Logo nenhum número menor que
é cota superior. Assim
é a menor cota superior de
.
Comentário didático: aqui nem precisei do argumento arquimediano — bastou notar que o próprio número
está no conjunto, o que força a supremum a ser pelo menos
; combinado com o fato de que tudo é ≤1, conclui-se facilmente.