Calcule a derivada das funções abaixo usando as propriedades adequadas:
f(x)=e^xcos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada! A gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{e^{x}}{\cos x} $. Para isso, vamos usar as propriedades de derivação, especificamente a Regra do Quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vão entrar na Regra do Quociente. Nossa função é $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, onde:
  • $ u(x) = e^{x} $
  • $ v(x) = \cos x $

Passo 3

A Regra do Quociente nos diz que a derivada de $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ é dada por:
f(x) = u(x)v(x)
Então, precisamos calcular $ u’(x) $ e $ v’(x) $.

Passo 4

Vamos derivar $ u(x) = e^{x} $:
u(x) = e^x
E agora, derivar $ v(x) = \cos x $:
u'(x) = e^x

Passo 5

Agora, substituímos $ u’(x) $, $ v(x) $, $ u(x) $ e $ v’(x) $ na fórmula da Regra do Quociente:
u'(x)

Passo 6

Simplificando a expressão:
f'(x) = e^x cos x + e^x sin xcos^2 x
Podemos fatorar $ e^{x} $ no numerador:
e^x

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = e^x (cos x + sin x)cos^2 x

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