Calcule a derivada das funções abaixo usando as propriedades adequadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada! A gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{e^{x}}{\cos x} $. Para isso, vamos usar as propriedades de derivação, especificamente a Regra do Quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vão entrar na Regra do Quociente. Nossa função é $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, onde:
- $ u(x) = e^{x} $
- $ v(x) = \cos x $
Passo 3
A Regra do Quociente nos diz que a derivada de $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ é dada por:
Então, precisamos calcular $ u’(x) $ e $ v’(x) $.
Passo 4
Vamos derivar $ u(x) = e^{x} $:
E agora, derivar $ v(x) = \cos x $:
Passo 5
Agora, substituímos $ u’(x) $, $ v(x) $, $ u(x) $ e $ v’(x) $ na fórmula da Regra do Quociente:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar $ e^{x} $ no numerador:
Resposta
A derivada da função é: