Para cada uma das funções abaixo, pede-se: (i) gráfico; (ii) domínio; (iii) imagem; e (iv) classificação em constante, crescente ou decrescente. Se necessário utilize a notação de intervalos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar a função $ m(x) = -x^{2} + 4x - 4 $. Precisamos fazer quatro coisas:
- Gráfico da função.
- Domínio da função.
- Imagem da função.
- Classificação da função como constante, crescente ou decrescente.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas, que têm a forma geral $ ax^{2} + bx + c $, e usar alguns conceitos básicos de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa função quadrática $ m(x) = -x^{2} + 4x - 4 $:
- $ a = -1 $
- $ b = 4 $
- $ c = -4 $
Esses coeficientes vão nos ajudar a determinar a forma do gráfico e outras características da função.
Passo 3
Gráfico da função:
Como o coeficiente de $ x^{2} $ é negativo ($ a = -1 $), sabemos que o gráfico será uma parábola voltada para baixo. Para desenhar o gráfico, precisamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto mais alto nesse caso.
Para encontrar o vértice, usamos a fórmula das coordenadas do vértice:
Vamos calcular:
Então, o vértice está no ponto $ (2, 0) $.
Passo 4
Domínio da função:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de $ x $ para os quais a função está definida. Como estamos lidando com uma função quadrática, que está definida para todos os números reais, o domínio é:
Passo 5
Imagem da função:
A imagem (ou conjunto imagem) é o conjunto de todos os valores possíveis de $ m(x) $. Como a parábola está voltada para baixo e o vértice é o ponto mais alto $ (2, 0) $, a função pode assumir todos os valores menores ou iguais a 0. Portanto:
Passo 6
Classificação da função:
Vamos verificar onde a função é crescente e decrescente.
Para funções quadráticas:
- Se $ a < 0 $, a função é crescente antes do vértice e decrescente depois do vértice.
- Se $ a > 0 $, é o contrário.
No nosso caso, $ a = -1 $, então:
- A função é crescente para $ x < 2 $.
- A função é decrescente para $ x > 2 $.
Ela não é constante porque o coeficiente de $ x $ não é zero.
Resposta
- Gráfico: Uma parábola voltada para baixo com vértice em $ (2, 0) $.
- Domínio: $ (-\infty, +\infty) $
- Imagem: $ (-\infty, 0] $
- Classificação: A função é crescente para $ x < 2 $ e decrescente para $ x > 2 $.