Para cada uma das funções abaixo, pede-se: (i) gráfico; (ii) domínio; (iii) imagem; e (iv) classificação em constante, crescente ou decrescente. Se necessário utilize a notação de intervalos:
m(x)=-x^2+4 x-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar a função $ m(x) = -x^{2} + 4x - 4 $. Precisamos fazer quatro coisas:
  1. Gráfico da função.
  2. Domínio da função.
  3. Imagem da função.
  4. Classificação da função como constante, crescente ou decrescente.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas, que têm a forma geral $ ax^{2} + bx + c $, e usar alguns conceitos básicos de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa função quadrática $ m(x) = -x^{2} + 4x - 4 $:
  • $ a = -1 $
  • $ b = 4 $
  • $ c = -4 $
Esses coeficientes vão nos ajudar a determinar a forma do gráfico e outras características da função.

Passo 3

Gráfico da função:
Como o coeficiente de $ x^{2} $ é negativo ($ a = -1 $), sabemos que o gráfico será uma parábola voltada para baixo. Para desenhar o gráfico, precisamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto mais alto nesse caso.
Para encontrar o vértice, usamos a fórmula das coordenadas do vértice:
x^2
a = -1
Vamos calcular:
xv = -b2a
yv = m(xv)
Então, o vértice está no ponto $ (2, 0) $.

Passo 4

Domínio da função:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de $ x $ para os quais a função está definida. Como estamos lidando com uma função quadrática, que está definida para todos os números reais, o domínio é:
x í

Passo 5

Imagem da função:
A imagem (ou conjunto imagem) é o conjunto de todos os valores possíveis de $ m(x) $. Como a parábola está voltada para baixo e o vértice é o ponto mais alto $ (2, 0) $, a função pode assumir todos os valores menores ou iguais a 0. Portanto:
m(x)

Passo 6

Classificação da função:
Vamos verificar onde a função é crescente e decrescente.
Para funções quadráticas:
  • Se $ a < 0 $, a função é crescente antes do vértice e decrescente depois do vértice.
  • Se $ a > 0 $, é o contrário.
No nosso caso, $ a = -1 $, então:
  • A função é crescente para $ x < 2 $.
  • A função é decrescente para $ x > 2 $.
Ela não é constante porque o coeficiente de $ x $ não é zero.

Resposta

  • Gráfico: Uma parábola voltada para baixo com vértice em $ (2, 0) $.
  • Domínio: $ (-\infty, +\infty) $
  • Imagem: $ (-\infty, 0] $
  • Classificação: A função é crescente para $ x < 2 $ e decrescente para $ x > 2 $.

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