Calcule a derivada das funções abaixo usando as propriedades adequadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{x}{x-1} $. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas de funções racionais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do quociente, que é uma das propriedades para derivar funções que são divisões de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função para aplicar a regra do quociente. A função $ f(x) = \frac{x}{x-1} $ é uma divisão de duas funções:
- $ u(x) = x $ (numerador)
- $ v(x) = x - 1 $ (denominador)
A regra do quociente nos diz que a derivada de $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ é:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
-
Derivada de $ u(x) = x $:
-
Derivada de $ v(x) = x - 1 $:
Passo 4
Substituindo $ u(x) $, $ u’(x) $, $ v(x) $ e $ v’(x) $ na fórmula da regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = \frac{x}{x-1} $ é: