Calcule a derivada das funções abaixo usando as propriedades adequadas:
f(x)=xx-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{x}{x-1} $. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas de funções racionais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do quociente, que é uma das propriedades para derivar funções que são divisões de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função para aplicar a regra do quociente. A função $ f(x) = \frac{x}{x-1} $ é uma divisão de duas funções:
  • $ u(x) = x $ (numerador)
  • $ v(x) = x - 1 $ (denominador)
A regra do quociente nos diz que a derivada de $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ é:
f(x) = xx-1

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
  • Derivada de $ u(x) = x $:
    u(x)
  • Derivada de $ v(x) = x - 1 $:
    v(x)

Passo 4

Substituindo $ u(x) $, $ u’(x) $, $ v(x) $ e $ v’(x) $ na fórmula da regra do quociente:
u(x)

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
1 cdot (x - 1) - x cdot 1 = x - 1 - x = -1
Então, a derivada fica:
f'(x) = -1(x - 1)^2

Resposta

A derivada da função $ f(x) = \frac{x}{x-1} $ é:
f(x) = xx-1

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