Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem não-linear: 2 y dx + (x y + 5 x) dy = 0. Vamos identificar o tipo da EDO e, se necessário, usar fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Escrevemos M(x,y)=2y e N(x,y)=x y+5x. Calculamos ∂M/∂y=2 e ∂N/∂x=y+5. Como 2≠y+5 em geral, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos fator integrante do tipo μ(y). A condição é que (∂N/∂x − ∂M/∂y)/M dependa só de y. De fato,
[(∂N/∂x − ∂M/∂y)/M] = [(y+5) − 2]/(2y) = (y+3)/(2y),
que depende apenas de y.

Passo 4

Integramos para achar μ(y):
μ(y) = exp∫(y+3)/(2y) dy = exp∫(1/2 + 3/(2y)) dy = exp((1/2)y + (3/2)ln y) = y^{3/2} e^{y/2}.

Passo 5

Multiplicamos a EDO original por μ(y): M̃ = 2y · y^{3/2} e^{y/2} = 2y^{5/2} e^{y/2}, Ñ = (x y+5x)y^{3/2} e^{y/2} = x e{y/2}y{3/2}(y+5). Agora a equação M̃ dx + Ñ dy = 0 é exata.

Passo 6

Procuramos ψ(x,y) tal que ψ_x = M̃. Integramos em x:
ψ(x,y) = ∫2y^{5/2} e^{y/2} dx + h(y) = 2x y^{5/2} e^{y/2} + h(y).

Passo 7

Derivamos em y e igualamos a Ñ:
ψ_y = 2x·d/dy[y^{5/2} e^{y/2}] + h’(y) = x e{y/2}y{3/2}(y+5) + h’(y) = Ñ.
Logo h’(y)=0 e h(y)=constante. Portanto ψ(x,y)=constante.

Passo 8

A solução geral implícita é
2x y^{5/2} e^{y/2} = C,
ou ainda x y^{5/2} e^{y/2} = K, com K constante arbitrária.

Resposta

x y^{5/2} e^{y/2} = C

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