Calcule a derivada das funções abaixo usando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função e nos dá a função explicitamente:
A tarefa é encontrar
.
Passo 2
Vamos identificar as partes da função (isso ajuda a aplicar a regra que vamos usar). Aqui há um fator constante
multiplicando uma potência. Definimos uma função interna
e a função externa
. Assim a parte não-constante é
.
Regra importante (explicada): se uma função é composta, isto é,
, então a derivada é
No caso de uma potência
, tem-se
Aqui vamos aplicar essas duas ideias: derivar a potência em relação a
e multiplicar pela derivada de
em relação a
. Lembre-se também de que um fator constante multiplicando a função sai multiplicando a derivada.
Passo 3
Calcular a derivada de
. Derivando termo a termo:
Passo 4
Derivar
em relação a
e aplicar a cadeia: pela regra da potência,
Agora aplicar a regra da cadeia para
:
Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Restabelecer o fator constante
que multiplica toda a função original. Temos
Multiplicando os fatores numéricos
dá
. Reorganizando os fatores (a multiplicação é comutativa) fica