Calcule a derivada das funções abaixo usando a regra da cadeia.
f(x)=10\left(3 x^{2}+7 x-3\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função e nos dá a função explicitamente:
f(x)=10\left(3x^{2}+7x-3\right)^{10}.
A tarefa é encontrar f'(x).

Passo 2

Vamos identificar as partes da função (isso ajuda a aplicar a regra que vamos usar). Aqui há um fator constante 10 multiplicando uma potência. Definimos uma função interna \displaystyle u(x)=3x^{2}+7x-3 e a função externa \displaystyle g(u)=u^{10}. Assim a parte não-constante é g(u(x)).
Regra importante (explicada): se uma função é composta, isto é, \displaystyle h(x)=G(U(x)), então a derivada é
h'(x)=G'(U(x))\cdot U'(x).
No caso de uma potência \displaystyle G(u)=u^{n}, tem-se
\frac{d}{du}\bigl(u^{n}\bigr)=n\,u^{n-1}.
Aqui vamos aplicar essas duas ideias: derivar a potência em relação a u e multiplicar pela derivada de u em relação a x. Lembre-se também de que um fator constante multiplicando a função sai multiplicando a derivada.

Passo 3

Calcular a derivada de u(x). Derivando termo a termo:
u(x)=3x^{2}+7x-3,
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2})+\frac{d}{dx}(7x)+\frac{d}{dx}(-3)=6x+7+0=6x+7.

Passo 4

Derivar g(u)=u^{10} em relação a u e aplicar a cadeia: pela regra da potência,
\frac{d}{du}\bigl(u^{10}\bigr)=10\,u^{9}.
Agora aplicar a regra da cadeia para g(u(x)):
\frac{d}{dx}\bigl((u(x))^{10}\bigr)=10\,\bigl(u(x)\bigr)^{9}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=3x^{2}+7x-3 e u'(x)=6x+7 obtemos
\frac{d}{dx}\bigl((3x^{2}+7x-3)^{10}\bigr)=10\,(3x^{2}+7x-3)^{9}\,(6x+7).

Passo 5

Restabelecer o fator constante 10 que multiplica toda a função original. Temos
f'(x)=10\cdot\frac{d}{dx}\bigl((3x^{2}+7x-3)^{10}\bigr) =10\cdot\bigl[10\,(3x^{2}+7x-3)^{9}\,(6x+7)\bigr].
Multiplicando os fatores numéricos 10\cdot10 100. Reorganizando os fatores (a multiplicação é comutativa) fica
f'(x)=100\,(6x+7)\,(3x^{2}+7x-3)^{9}.

Resposta

f'(x)=100(6x+7)(3x^{2}+7x-3)^{9}

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