Calcule a derivada das funções abaixo usando as regras de derivação.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função. A função dada é
Informações relevantes:
- A expressão original envolve
no denominador, logo a forma escrita exige (para que não haja divisão por zero). - Preciso encontrar
, a derivada de em pontos onde a função está definida.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão antes de derivar, para trabalhar com potências de
positivas (mais simples de derivar).
Usar as regras de potências e reciprocidade:
Usar as regras de potências e reciprocidade:
Explicando:
, então
. Assim a função fica, para
:
Passo 3
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- A derivada de uma constante é zero. Ou seja, se
é constante, então . - Regra do múltiplo constante:
, onde é constante. - Regra da potência (power rule): para
real, . Por exemplo, .
Aquié a variável independente e é a taxa de variação de em relação a .
Passo 4
Aplicando as regras à forma simplificada
:
- Derivada de
é . - Derivada de
usando regra do múltiplo constante e a regra da potência:
Somando as partes:
Passo 5
Comentário sobre domínio: a expressão original exigia
, então a derivada que acabamos de calcular é válida nos pontos onde a função original está definida, isto é, para
. (A forma simplificada
é algébrica e estende-se a
, mas a função original dada não estava definida em
, logo o problema original considera
.)