Calcule a derivada das funções abaixo usando as regras de derivação.
f(x)=10-\frac{1}{3 x^{-3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função. A função dada é
f(x)=10-\frac{1}{3 x^{-3}}.
Informações relevantes:
  • A expressão original envolve x^{-3} no denominador, logo a forma escrita exige x\neq0 (para que não haja divisão por zero).
  • Preciso encontrar f'(x), a derivada de f em pontos onde a função está definida.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão antes de derivar, para trabalhar com potências de x positivas (mais simples de derivar).
Usar as regras de potências e reciprocidade:
\frac{1}{3 x^{-3}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{-3}}=\frac{1}{3}\cdot x^{3}.
Explicando: x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}, então \dfrac{1}{x^{-3}}=x^{3}. Assim a função fica, para x\neq0:
f(x)=10-\frac{1}{3}x^{3}.

Passo 3

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • A derivada de uma constante é zero. Ou seja, se c é constante, então \dfrac{d}{dx}\text{(c)}=0.
  • Regra do múltiplo constante: \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x), onde c é constante.
  • Regra da potência (power rule): para n real, \dfrac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}. Por exemplo, \dfrac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.
    Aqui x é a variável independente e f'(x) é a taxa de variação de f em relação a x.

Passo 4

Aplicando as regras à forma simplificada \;f(x)=10-\dfrac{1}{3}x^{3}:
  • Derivada de 10 é 0.
  • Derivada de -\dfrac{1}{3}x^{3} usando regra do múltiplo constante e a regra da potência:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{3}x^{3}\right)=-\frac{1}{3}\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=-\frac{1}{3}\cdot(3x^{2})=-x^{2}.
Somando as partes:
f'(x)=0+(-x^{2})=-x^{2}.

Passo 5

Comentário sobre domínio: a expressão original exigia x\neq0, então a derivada que acabamos de calcular é válida nos pontos onde a função original está definida, isto é, para x\neq0. (A forma simplificada 10-\tfrac{1}{3}x^{3} é algébrica e estende-se a x=0, mas a função original dada não estava definida em 0, logo o problema original considera x\neq0.)

Resposta

-x^{2}

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