Calcule a derivada das funções abaixo usando a regra da cadeia.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é uma potência de uma função racional: o expoente externo é
e a função interna é . - Não há outros dados adicionais.
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): para derivar uma composição do tipo
usa-se a regra da cadeia. A regra da cadeia diz o seguinte:
Se
com
constante e
diferenciável, então
Aqui:
-
é a função interna (aquela que está elevada a uma potência), -
é a derivada dessa função interna, -
é o expoente (aqui ).
Então vamos identificar
e calcular
, e depois aplicar a fórmula acima.
Passo 3
Definição da função interna:
Para calcular
usamos a regra do quociente. A regra do quociente afirma que, se
com
, então
Aqui escolhemos
Agora calculamos
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula do quociente com esses
e
:
Agora desenvolvemos o numerador passo a passo:
Subtraindo:
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia para
. Pela fórmula:
Substituindo
e o
que achamos:
Passo 6
Unimos os fatores para escrever como uma única fração. O fator
já tem denominador
, multiplicando pelo outro denominador
resulta em
. O numerador fica
. Assim:
Se preferir, pode tirar o sinal negativo do numerador:
Ambas as formas são equivalentes.