Calcule a derivada das funções abaixo usando a regra da cadeia.
f(x)=\left(\frac{7 x+1}{2 x^{2}+3}\right)^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\left(\frac{7x+1}{2x^{2}+3}\right)^{3}.
Informações dadas:
  • A função é uma potência de uma função racional: o expoente externo é 3 e a função interna é \dfrac{7x+1}{2x^{2}+3}.
  • Não há outros dados adicionais.

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): para derivar uma composição do tipo \big(u(x)\big)^{3} usa-se a regra da cadeia. A regra da cadeia diz o seguinte:
Se f(x)=\big(u(x)\big)^{n} com n constante e u(x) diferenciável, então
f'(x)=n\big(u(x)\big)^{n-1}\,u'(x).
Aqui:
  • u(x) é a função interna (aquela que está elevada a uma potência),
  • u'(x) é a derivada dessa função interna,
  • n é o expoente (aqui n=3).
Então vamos identificar u(x) e calcular u'(x), e depois aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Definição da função interna:
u(x)=\frac{7x+1}{2x^{2}+3}.
Para calcular u'(x) usamos a regra do quociente. A regra do quociente afirma que, se u(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)} com h(x)\neq 0, então
u'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\big(h(x)\big)^{2}}.
Aqui escolhemos
g(x)=7x+1,\qquad h(x)=2x^{2}+3.
Agora calculamos g'(x) e h'(x):
g'(x)=7,\qquad h'(x)=4x.

Passo 4

Aplicando a fórmula do quociente com esses g e h:
u'(x)=\frac{7\big(2x^{2}+3\big)-(7x+1)\big(4x\big)}{\big(2x^{2}+3\big)^{2}}.
Agora desenvolvemos o numerador passo a passo:
7\big(2x^{2}+3\big)=14x^{2}+21,
(7x+1)(4x)=28x^{2}+4x.
Subtraindo:
14x^{2}+21-(28x^{2}+4x)=-14x^{2}-4x+21.
Portanto
u'(x)=\frac{-14x^{2}-4x+21}{\big(2x^{2}+3\big)^{2}}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia para f(x)=\big(u(x)\big)^{3}. Pela fórmula:
f'(x)=3\big(u(x)\big)^{2}\,u'(x).
Substituindo u(x)=\dfrac{7x+1}{2x^{2}+3} e o u'(x) que achamos:
f'(x)=3\left(\frac{7x+1}{2x^{2}+3}\right)^{2}\cdot\frac{-14x^{2}-4x+21}{\big(2x^{2}+3\big)^{2}}.

Passo 6

Unimos os fatores para escrever como uma única fração. O fator \left(\dfrac{7x+1}{2x^{2}+3}\right)^{2} já tem denominador \big(2x^{2}+3\big)^{2}, multiplicando pelo outro denominador \big(2x^{2}+3\big)^{2} resulta em \big(2x^{2}+3\big)^{4}. O numerador fica 3(7x+1)^{2}(-14x^{2}-4x+21). Assim:
f'(x)=\frac{3(7x+1)^{2}\big(-14x^{2}-4x+21\big)}{\big(2x^{2}+3\big)^{4}}.
Se preferir, pode tirar o sinal negativo do numerador:
f'(x)=-\frac{3(7x+1)^{2}\big(14x^{2}+4x-21\big)}{\big(2x^{2}+3\big)^{4}}.
Ambas as formas são equivalentes.

Resposta

f'(x)=-\frac{3(7x+1)^{2}\big(14x^{2}+4x-21\big)}{\big(2x^{2}+3\big)^{4}}

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