Calcule a derivada das funções abaixo usando a regra da cadeia.
f(x)=3^{3 x^{2}+6 x}

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x)=3^{3 x^{2}+6 x} e pede para calcular a derivada dessa função usando a regra da cadeia.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=3^{3 x^{2}+6 x}.
    O que se pede:
  • Encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Identificar a estrutura da função (o “composto”): a função é uma exponencial de base constante 3 cujo expoente é uma função de x. Para organizar, defino a parte interna (o expoente) como uma função auxiliar:
u(x)=3x^{2}+6x.
Assim f(x)=3^{u(x)}. Aqui u(x) é a função interna que depende de x, e 3^{(\cdot)} é a função externa que recebe u.

Passo 3

Relembrando a fórmula que vamos usar (regra da cadeia para exponencial de base constante): se f(x)=a^{u(x)} com a>0 constante e u(x) diferenciável, então
\frac{d}{dx}\bigl(a^{u(x)}\bigr)=a^{u(x)}\ln(a)\cdot u'(x).
Explicando cada símbolo:
  • a é a base constante da exponencial (aqui a=3);
  • u(x) é a função interna (o expoente);
  • \ln(a) é o logaritmo natural da base a;
  • u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
Um exemplo simples para fixar a ideia: se g(x)=3^{x} então g'(x)=3^{x}\ln(3). Quando o expoente é uma função u(x), multiplicamos também por u'(x) (isso é a regra da cadeia).

Passo 4

Calcular a derivada da função interna u(x). Temos
u(x)=3x^{2}+6x.
Derivando termo a termo (regra básica: \frac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1} e \frac{d}{dx}(c x)=c para constante c):
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2})+\frac{d}{dx}(6x)=3\cdot 2x+6=6x+6.

Passo 5

Aplicar a fórmula da Passo 3 com a=3, u(x)=3x^{2}+6x e u'(x)=6x+6. Assim
f'(x)=3^{u(x)}\ln(3)\cdot u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x) obtemos
f'(x)=3^{3x^{2}+6x}\ln(3)\cdot(6x+6).

Passo 6

Fazer uma simplificação final fatorando 6 se desejar:
6x+6=6(x+1),
logo uma forma compacta da derivada é
f'(x)=6(x+1)\ln(3)\,3^{3x^{2}+6x}.

Resposta

f'(x)=6(x+1)\ln(3)\,3^{3x^{2}+6x}

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