Calcule a derivada das funções abaixo usando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para calcular a derivada dessa função usando a regra da cadeia.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
.
O que se pede: - Encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Identificar a estrutura da função (o “composto”): a função é uma exponencial de base constante
cujo expoente é uma função de
. Para organizar, defino a parte interna (o expoente) como uma função auxiliar:
Assim
. Aqui
é a função interna que depende de
, e
é a função externa que recebe
.
Passo 3
Relembrando a fórmula que vamos usar (regra da cadeia para exponencial de base constante): se
com
constante e
diferenciável, então
Explicando cada símbolo:
-
é a base constante da exponencial (aqui ); -
é a função interna (o expoente); -
é o logaritmo natural da base ; -
é a derivada da função interna em relação a .
Um exemplo simples para fixar a ideia: se
então
. Quando o expoente é uma função
, multiplicamos também por
(isso é a regra da cadeia).
Passo 4
Calcular a derivada da função interna
. Temos
Derivando termo a termo (regra básica:
e
para constante
):
Passo 5
Aplicar a fórmula da Passo 3 com
,
e
. Assim
Substituindo
e
obtemos
Passo 6
Fazer uma simplificação final fatorando
se desejar:
logo uma forma compacta da derivada é