Calcule a derivada das funções abaixo usando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
. Informação útil extraída do enunciado:
- A função é um logaritmo de base
cujo argumento é a função interna . - O argumento interno é uma função de
: . - Objetivo: encontrar a derivada em relação a
, isto é .
Passo 2
Vamos usar a fórmula que transforma logaritmo em base
para logaritmo natural: para qualquer
,
Aplicando com
e
obtemos
Aqui
é o logaritmo natural e
é uma constante (número). Agora uma regra básica de derivação: para uma função composta
,
onde
é a derivada de
em relação a
. Vou explicar: a derivada de
em relação a
é
; pela regra da cadeia multiplicamos por
, resultando em
.
Passo 3
Identificamos a função interna e calculamos sua derivada:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
é (pois e a constante 2 multiplica). - A derivada de
é .
Portanto
Passo 4
Voltando a
: como
é constante, a derivada é
Usando
e substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Simplificando a expressão:
Pequena observação didática: a forma geral para a derivada de
é
. Aqui
e
.