Calcule a derivada das funções abaixo usando a regra da cadeia.
f(x)=\log _{2}\left(2 x^{2}+7\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\log_{2}\!\bigl(2x^{2}+7\bigr)
e pede para calcular a derivada f'(x). Informação útil extraída do enunciado:
  • A função é um logaritmo de base 2 cujo argumento é a função interna 2x^{2}+7.
  • O argumento interno é uma função de x: u(x)=2x^{2}+7.
  • Objetivo: encontrar a derivada em relação a x, isto é f'(x).

Passo 2

Vamos usar a fórmula que transforma logaritmo em base a para logaritmo natural: para qualquer u>0,
\log_{a}u=\frac{\ln u}{\ln a}.
Aplicando com a=2 e u=u(x) obtemos
f(x)=\frac{\ln\bigl(u(x)\bigr)}{\ln 2}.
Aqui \ln é o logaritmo natural e \ln 2 é uma constante (número). Agora uma regra básica de derivação: para uma função composta \ln(u(x)),
\frac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)},
onde u'(x) é a derivada de u em relação a x. Vou explicar: a derivada de \ln t em relação a t é 1/t; pela regra da cadeia multiplicamos por dt/dx=u'(x), resultando em u'(x)/u(x).

Passo 3

Identificamos a função interna e calculamos sua derivada:
u(x)=2x^{2}+7.
Derivando termo a termo:
  • A derivada de 2x^{2} é 2\cdot 2x=4x (pois \frac{d}{dx}x^{2}=2x e a constante 2 multiplica).
  • A derivada de 7 é 0.
    Portanto
u'(x)=4x.

Passo 4

Voltando a f(x)=\dfrac{\ln(u(x))}{\ln 2}: como \ln 2 é constante, a derivada é
f'(x)=\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr).
Usando \dfrac{d}{dx}\ln(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)} e substituindo u(x)=2x^{2}+7 e u'(x)=4x, obtemos
f'(x)=\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{4x}{2x^{2}+7}.

Passo 5

Simplificando a expressão:
f'(x)=\frac{4x}{\bigl(2x^{2}+7\bigr)\ln 2}.
Pequena observação didática: a forma geral para a derivada de \log_{a}\bigl(u(x)\bigr) é \dfrac{u'(x)}{u(x)\ln a}. Aqui u(x)=2x^{2}+7 e \ln a=\ln 2.

Resposta

\displaystyle \frac{4x}{\bigl(2x^{2}+7\bigr)\ln 2}

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