Calcule a derivada das funções abaixo usando as regras de derivação.
f(x)=x^{3}-4 x^{2}+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f. As informações dadas são:
  • A função é f(x)=x^{3}-4 x^{2}+2.
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos lembrar das regras de derivação que usaremos (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x) então g'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Regra do fator constante: se há um número multiplicando uma função, a constante, então \dfrac{d}{dx}\big(a\cdot u(x)\big)=a\cdot u'(x). Aqui a é um número fixo e u(x) é uma função de x.
  • Regra da potência (power rule): para u(x)=x^{n} com n real, \dfrac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}. Ou seja, baixa o expoente multiplicando e subtrai 1 no expoente.
  • Regra da constante: a derivada de uma constante (número sem x) é 0.
Exemplos rápidos para fixar:
  • \dfrac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2} pela regra da potência.
  • \dfrac{d}{dx}\big(5x^{2}\big)=5\cdot 2x = 10x usando fator constante + potência.
  • \dfrac{d}{dx}(7)=0 pela regra da constante.

Passo 3

Vamos aplicar as regras termo a termo. Primeiro escrevo a derivada como soma das derivadas dos termos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)+\frac{d}{dx}\big(-4x^{2}\big)+\frac{d}{dx}\big(2\big).

Passo 4

Agora calculo cada derivada separadamente usando as regras explicadas:
  1. Para \dfrac{d}{dx}\big(x^{3}\big) uso a regra da potência com n=3:
\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.
Aqui apliquei n x^{n-1} com n=3.
  1. Para \dfrac{d}{dx}\big(-4x^{2}\big) uso a regra do fator constante: o coeficiente -4 sai multiplicando, e a derivada de x^{2} é 2x. Então:
\frac{d}{dx}\big(-4x^{2}\big)=-4\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=-4\cdot(2x)=-8x.
  1. Para \dfrac{d}{dx}\big(2\big) aplico a regra da constante:
\frac{d}{dx}\big(2\big)=0.

Passo 5

Somando os resultados dos termos (regra da soma):
f'(x)=3x^{2} + (-8x) + 0.
Simplificando:
f'(x)=3x^{2}-8x.

Passo 6

Pequena checagem numérica para ganhar confiança: se x=1, então pela fórmula f'(1)=3\cdot1^{2}-8\cdot1=3-8=-5. Isso significa que a inclinação da reta tangente a f em x=1 é -5. Dá para estimar essa inclinação numericamente aproximando diferença de valores de f em torno de 1 e ver que fica perto de -5, o que confirma que a fórmula faz sentido.

Resposta

f'(x)=3x^{2}-8x

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