Calcule a derivada das funções abaixo usando as regras de derivação.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
. As informações dadas são:
- A função é
. - A tarefa é encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Vamos lembrar das regras de derivação que usaremos (explicadas de forma simples):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . - Regra do fator constante: se há um número multiplicando uma função,
constante, então . Aqui é um número fixo e é uma função de . - Regra da potência (power rule): para
com real, . Ou seja, baixa o expoente multiplicando e subtrai 1 no expoente. - Regra da constante: a derivada de uma constante (número sem
) é .
Exemplos rápidos para fixar:
-
pela regra da potência. -
usando fator constante + potência. -
pela regra da constante.
Passo 3
Vamos aplicar as regras termo a termo. Primeiro escrevo a derivada como soma das derivadas dos termos:
Passo 4
Agora calculo cada derivada separadamente usando as regras explicadas:
- Para
uso a regra da potência com :
Aqui apliquei
com
.
- Para
uso a regra do fator constante: o coeficiente sai multiplicando, e a derivada de é . Então:
- Para
aplico a regra da constante:
Passo 5
Somando os resultados dos termos (regra da soma):
Simplificando:
Passo 6
Pequena checagem numérica para ganhar confiança: se
, então pela fórmula
. Isso significa que a inclinação da reta tangente a
em
é
. Dá para estimar essa inclinação numericamente aproximando diferença de valores de
em torno de
e ver que fica perto de
, o que confirma que a fórmula faz sentido.