Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações úteis que o enunciado dá:
- A função é uma composição: há uma função externa
aplicada a uma função interna . - O objetivo explícito: usar a regra da cadeia para obter
.
Nada mais é pedido.
Passo 2
Explicando a regra da cadeia (passo-a-passo e com linguagem simples).
- Regra da cadeia: se
, então a derivada de é dada por
- O que cada símbolo significa:
-
é a função externa (escrevemos quando queremos indicar a variável genérica ). -
é a função interna (depende de ). -
é a derivada de em relação à sua variável . -
é a derivada de em relação a .
-
- Intuição simples: derivar a composição é derivar a parte de fora (avaliada na parte de dentro) e multiplicar pela derivada da parte de dentro. É como “abrir” a função externa e ajustar pela variação da função interna.
Passo 3
Identificar as funções
e
no nosso caso.
- Definimos a função externa
. - Definimos a função interna
.
Portanto.
Passo 4
Derivar a função externa
.
- Fórmula que precisamos: a derivada da função cosseno é
- Explicando: ao derivar cosseno em relação à sua própria variável
, obtemos menos seno dessa variável.
Passo 5
Derivar a função interna
.
-
é uma constante (não depende de ), então sua derivada é . - A derivada de
em relação a é .
Logo,
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia juntando as derivadas obtidas.
- Pela regra da cadeia:
- Substituindo
e :
- Simplificando os sinais:
Passo 7
Simplificar a expressão final usando uma identidade trigonométrica (verificação e forma mais simples).
- Identidade conhecida (cofunção): para todo
,
- Explicando rapidamente a identidade: é a relação entre seno e cosseno ao trocar um ângulo por seu complemento
; isso pode ser visto no círculo trigonométrico ou decorado como cofunção. - Aplicando essa identidade ao resultado do passo anterior: