Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando a regra da cadeia.
f(x)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right).
Informações úteis que o enunciado dá:
  • A função é uma composição: há uma função externa g(u)=\cos(u) aplicada a uma função interna h(x)=\dfrac{\pi}{2}-x.
  • O objetivo explícito: usar a regra da cadeia para obter f'(x).
    Nada mais é pedido.

Passo 2

Explicando a regra da cadeia (passo-a-passo e com linguagem simples).
  • Regra da cadeia: se f(x)=g(h(x)), então a derivada de f é dada por
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
  • O que cada símbolo significa:
    • g é a função externa (escrevemos g(u) quando queremos indicar a variável genérica u).
    • h é a função interna (depende de x).
    • g'(u) é a derivada de g em relação à sua variável u.
    • h'(x) é a derivada de h em relação a x.
  • Intuição simples: derivar a composição é derivar a parte de fora (avaliada na parte de dentro) e multiplicar pela derivada da parte de dentro. É como “abrir” a função externa e ajustar pela variação da função interna.

Passo 3

Identificar as funções g e h no nosso caso.
  • Definimos a função externa g(u)=\cos(u).
  • Definimos a função interna h(x)=\dfrac{\pi}{2}-x.
    Portanto f(x)=g(h(x)).

Passo 4

Derivar a função externa g(u)=\cos(u).
  • Fórmula que precisamos: a derivada da função cosseno é
\frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u).
  • Explicando: ao derivar cosseno em relação à sua própria variável u, obtemos menos seno dessa variável.

Passo 5

Derivar a função interna h(x)=\dfrac{\pi}{2}-x.
  • \dfrac{\pi}{2} é uma constante (não depende de x), então sua derivada é 0.
  • A derivada de -x em relação a x é -1.
    Logo,
h'(x)=0+(-1)=-1.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia juntando as derivadas obtidas.
  • Pela regra da cadeia:
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
  • Substituindo g' e h':
f'(x)=\big(-\sin\big(h(x)\big)\big)\cdot(-1).
  • Simplificando os sinais:
f'(x)=\sin\big(h(x)\big)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right).

Passo 7

Simplificar a expressão final usando uma identidade trigonométrica (verificação e forma mais simples).
  • Identidade conhecida (cofunção): para todo x,
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x).
  • Explicando rapidamente a identidade: é a relação entre seno e cosseno ao trocar um ângulo por seu complemento \frac{\pi}{2}-x; isso pode ser visto no círculo trigonométrico ou decorado como cofunção.
  • Aplicando essa identidade ao resultado do passo anterior:
f'(x)=\cos(x).

Resposta

\,f'(x)=\cos(x)

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