Calcule a derivada das seguintes funções no ponto dado usando a definição.
f(x)=x^{2}-2 x+2, em x=2.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada de f no ponto indicado usando a definição de derivada. As informações dadas são:
  • A função é f(x)=x^{2}-2x+2.
  • O ponto onde queremos a derivada é x=2.
    O objetivo é obter f'(2) aplicando a definição de derivada como limite do quociente incremental.

Passo 2

Apresentando a definição de derivada que vamos usar (e explicando cada parte): a derivada de f em a é
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui:
  • a é o ponto onde queremos a derivada (no nosso caso a=2);
  • h é um incremento pequeno em x (pensa em h como “um passo” que vai a zero);
  • \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} é a taxa de variação média de f no intervalo [a,a+h];
  • tomar o limite quando h\to0 transforma essa taxa média na taxa instantânea (a inclinação da tangente).

Passo 3

Calcular f(2). Substituindo x=2 em f(x):
f(2)=2^{2}-2\cdot2+2=4-4+2=2.

Passo 4

Calcular f(2+h). Substituindo x=2+h em f(x) e desenvolvendo:
f(2+h)=(2+h)^{2}-2(2+h)+2.
Expandindo e organizando termos:
(2+h)^{2}=4+4h+h^{2},
então
f(2+h)=4+4h+h^{2}-4-2h+2.
Agora somando os termos constantes e os termos em h:
f(2+h)=2+2h+h^{2}.

Passo 5

Formar o quociente incremental \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} e simplificá-lo:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(2+2h+h^{2})-2}{h}=\frac{2h+h^{2}}{h}.
Fatorando h no numerador:
\frac{2h+h^{2}}{h}=\frac{h(2+h)}{h}=2+h,
onde fizemos a simplificação com h (isso elimina a forma indeterminada 0/0 antes de tomar o limite).

Passo 6

Tomar o limite quando h\to0:
f'(2)=\lim_{h\to0}(2+h)=2+0=2.
Explicando: o limite de uma soma é a soma dos limites; o limite de 2 é 2 e o limite de h quando h\to0 é 0.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: o resultado significa que a inclinação da reta tangente a y=f(x) no ponto x=2 é 2. Se quiser verificar com a regra de derivação de polinômios (não exigida aqui, mas útil), a derivada geral é f'(x)=2x-2 e, substituindo x=2, obtém-se f'(2)=2, consistente com o que foi calculado pela definição.

Resposta

f'(2)=2

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