Calcule a derivada das seguintes funções no ponto dado usando a definição.
, em
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada de
no ponto indicado usando a definição de derivada. As informações dadas são:
- A função é
. - O ponto onde queremos a derivada é
.
O objetivo é obteraplicando a definição de derivada como limite do quociente incremental.
Passo 2
Apresentando a definição de derivada que vamos usar (e explicando cada parte): a derivada de
em
é
Aqui:
-
é o ponto onde queremos a derivada (no nosso caso ); -
é um incremento pequeno em (pensa em como “um passo” que vai a zero); -
é a taxa de variação média de no intervalo ; - tomar o limite quando
transforma essa taxa média na taxa instantânea (a inclinação da tangente).
Passo 3
Calcular
. Substituindo
em
:
Passo 4
Calcular
. Substituindo
em
e desenvolvendo:
Expandindo e organizando termos:
então
Agora somando os termos constantes e os termos em
:
Passo 5
Formar o quociente incremental
e simplificá-lo:
Fatorando
no numerador:
onde fizemos a simplificação com
(isso elimina a forma indeterminada
antes de tomar o limite).
Passo 6
Tomar o limite quando
:
Explicando: o limite de uma soma é a soma dos limites; o limite de
é
e o limite de
quando
é
.
Passo 7
Interpretação e checagem rápida: o resultado significa que a inclinação da reta tangente a
no ponto
é
. Se quiser verificar com a regra de derivação de polinômios (não exigida aqui, mas útil), a derivada geral é
e, substituindo
, obtém-se
, consistente com o que foi calculado pela definição.