Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada de
em relação a
, ou seja encontrar
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - Observação importante sobre domínio: a expressão
será manipulada usando , portanto consideramos (para que esteja definida).
Passo 2
Motivação rápida (não é obrigação decorar): quando a incógnita aparece tanto na base quanto no expoente (como em
), é muito prático aplicar logaritmo natural e fazer diferenciação logarítmica. Vou aplicar
nos dois lados da igualdade para simplificar a forma da função antes de derivar.
Aplicando
em ambos os lados:
Usando as propriedades dos logaritmos (
e
), obtemos:
Passo 3
Agora vamos derivar ambos os lados em relação a
. Antes, lembretes rápidos das regras usadas:
- Derivada de
por (regra da cadeia): . Aqui é função de . - Derivada de constante:
. - Para
usamos a regra do produto: se e , então . - Derivada de
é .
Aplicando tudo isso:
Calculando a derivada do produto:
Portanto:
Passo 4
Isolando
:
Agora substituímos
pela expressão original
:
Podemos factorar
para simplificar a escrita:
Passo 5
Resumo das regras que foram usadas (curtinho, para você decorar):
- Usou-se logaritmo natural para transformar potência com variável na base e no expoente em expressão somada:
. - Derivada de
pela regra da cadeia dá . - Derivada de produto
aplicada como . - Substituição final de
para obter a derivada explícita.