Calcule a derivada das funções abaixo:
y=3 x^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a função y=3x^{2x} e pede para calcular a derivada de y em relação a x, ou seja encontrar \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é y=3x^{2x}.
  • Observação importante sobre domínio: a expressão x^{2x} será manipulada usando \ln x, portanto consideramos x>0 (para que \ln x esteja definida).

Passo 2

Motivação rápida (não é obrigação decorar): quando a incógnita aparece tanto na base quanto no expoente (como em x^{2x}), é muito prático aplicar logaritmo natural e fazer diferenciação logarítmica. Vou aplicar \ln nos dois lados da igualdade para simplificar a forma da função antes de derivar.
Aplicando \ln em ambos os lados:
\ln y = \ln\bigl(3x^{2x}\bigr).
Usando as propriedades dos logaritmos ( \ln(ab)=\ln a+\ln b e \ln(a^b)=b\ln a), obtemos:
\ln y = \ln 3 + \ln\bigl(x^{2x}\bigr)=\ln 3 + 2x\ln x.

Passo 3

Agora vamos derivar ambos os lados em relação a x. Antes, lembretes rápidos das regras usadas:
  • Derivada de \ln y por x (regra da cadeia): \dfrac{d}{dx}\bigl(\ln y\bigr)=\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}. Aqui y é função de x.
  • Derivada de constante: \dfrac{d}{dx}(\ln 3)=0.
  • Para \dfrac{d}{dx}(2x\ln x) usamos a regra do produto: se u(x)=2x e v(x)=\ln x, então (uv)'=u'v+uv'.
  • Derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}.
Aplicando tudo isso:
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 0 + \frac{d}{dx}\bigl(2x\ln x\bigr).
Calculando a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(2x\ln x\bigr)= (2)\ln x + (2x)\cdot\frac{1}{x} = 2\ln x + 2.
Portanto:
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=2\ln x + 2.

Passo 4

Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = y\bigl(2\ln x + 2\bigr).
Agora substituímos y pela expressão original y=3x^{2x}:
\frac{dy}{dx} = 3x^{2x}\bigl(2\ln x + 2\bigr).
Podemos factorar 2 para simplificar a escrita:
\frac{dy}{dx} = 3x^{2x}\cdot 2\bigl(\ln x + 1\bigr)=6x^{2x}\bigl(\ln x + 1\bigr).

Passo 5

Resumo das regras que foram usadas (curtinho, para você decorar):
  • Usou-se logaritmo natural para transformar potência com variável na base e no expoente em expressão somada: \ln(x^{2x})=2x\ln x.
  • Derivada de \ln y pela regra da cadeia dá \dfrac{1}{y}y'.
  • Derivada de produto 2x\ln x aplicada como (2x)'\ln x + 2x(\ln x)'.
  • Substituição final de y para obter a derivada explícita.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=6x^{2x}\bigl(\ln x+1\bigr)

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