Resolva as integrais abaixo usando usando as técnicas de frações parciais.
a) integral 2 x^3x^2+x d x
b) integral x^2+5 x+4x^2-2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais
integral 2 x^3x^2+x,dx e integral x^2+5x+4x^2-2x+1,dx
que são funções racionais. Sempre que o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, a gente faz primeiro divisão de polinômios e depois decomposição em frações parciais para integrar cada termo facilmente.

Passo 2

(a) Vamos à integral
integral 2x^3x^2+x,dx
Escrevendo x^2+x=x(x+1) e dividindo:
2x^3x(x+1) =2,x^2x+1
Agora dividimos x^2 por x+1:
x^2=(x+1)(x-1)+1 Longrightarrow x^2x+1=x-1+1x+1
Logo
2x^3x^2+x =2l(x-1+1x+1r) =2x-2+2x+1

Passo 3

Integramos termo a termo:
integral(2x-2),dx = x^2-2x, integral 2x+1,dx = 2lnlvert x+1rvert
Assim,
integral 2x^3x^2+x,dx = x^2-2x+2lnlvert x+1rvert + C

Passo 4

(b) Agora
integral x^2+5x+4x^2-2x+1,dx
e o denominador é (x-1)^2. Como o grau do numerador é igual ao do denominador, fazemos divisão:
x^2+5x+4(x-1)^2 =1+(x^2+5x+4)-(x^2-2x+1)(x-1)^2 =1+7x+3(x-1)^2

Passo 5

Decompondo
7x+3(x-1)^2=Ax-1+B(x-1)^2,
temos
7x+3 = A(x-1)+B = Ax - A + B Longrightarrow A=7,;B-A=3Rightarrow B=10
Então
7x+3(x-1)^2 =7x-1+10(x-1)^2

Passo 6

Integramos cada parte de
1+7x-1+10(x-1)^2:
integral 1,dx = x, integral 7x-1,dx =7lnlvert x-1rvert, integral 10(x-1)^2,dx =10integral (x-1)^-2dx =-10x-1
Logo
integral x^2+5x+4x^2-2x+1,dx = x+7lnlvert x-1rvert -10x-1 + C

Resposta

a) x^2-2x+2lnlvert x+1rvert + C
b) x+7lnlvert x-1rvert -10x-1 + C

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