Calcule a derivada das funções compostas e simplifique, se possível:
f(x)=tg(x^3)-sen^2(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=tanl(x^3r)-sin^2(x)
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e as derivadas das funções trigonométricas básicas ( tan e sin), além de uma simplificação usando identidade trigonométrica.

Passo 2

Para derivar tanl(x^3r) usamos a regra da cadeia. Se u(x)=x^3, então
ddxtan(u)=sec^2(u),u',
e u'(x)=3x^2. Logo,
ddxtanl(x^3r) = sec^2l(x^3r)cdot 3x^2 = 3x^2,sec^2l(x^3r)

Passo 3

Para derivar sin^2(x) também usamos a regra da cadeia. Se v(x)=sin(x), então
ddxv^2=2v,v',
e v'(x)=cos(x). Assim,
ddxsin^2(x) = 2,sin(x),cos(x)

Passo 4

Juntando os resultados,
f'(x) = 3x^2,sec^2l(x^3r) - 2,sin(x),cos(x)
Para simplificar usamos a identidade
2,sin(x),cos(x)=sin(2x),
ficando finalmente
f'(x)=3x^2,sec^2l(x^3r)-sin(2x)

Resposta

f'(x)=3x^2,sec^2l(x^3r)-sin(2x)

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