Calcule a derivada das funções compostas e simplifique, se possível:
f(x)=x^2 cdot arcsen(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função composta
f(x)=x^2cdotarcsin(x)
Para resolver isso, vamos usar a regra do produto de derivadas e a fórmula da derivada de arcsin(x).

Passo 2

Pela regra do produto, se ,u(x)=x^2 e ,v(x)=arcsin(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Como u'(x)=2x, temos
f'(x)=2xcdotarcsin(x)+x^2cdot v'(x)

Passo 3

A derivada da função arcsin(x) é
v'(x)=1raiz1-x^2
Substituindo em f'(x), obtém-se
f'(x)=2xarcsin(x)+x^2,1raiz1-x^2

Passo 4

Podemos deixar o resultado um pouco mais enxuto, por exemplo fatorando x:
f'(x) =2xarcsin(x)+x^2raiz1-x^2 =xl(2arcsin(x)+xraiz1-x^2r)

Resposta

f'(x)=2xarcsin(x)+x^2raiz1-x^2
ou, equivalentemente,
f'(x)=xl(2arcsin(x)+xraiz1-x^2r)

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