Use diferenciais para calcular o valor aproximado de:
(b) (12,03 cdot 10,04)^1,08

Passo 1

O enunciado pede para usar diferenciais a fim de aproximar o valor de
(12,03 cdot 10,04)^1,08
O conteúdo aqui é aplicação de diferenciais em funções de duas variáveis. Vamos definir uma função f(x,y) tal que f(x,y)=(x,y)^1,08 e aproximar f(12,03,,10,04) usando o ponto próximo (12,10).

Passo 2

Definimos
f(x,y) = (x,y)^1,08
Queremos aproximar f(12,03,10,04) a partir de f(12,10) e do diferencial
df = fx(x,y),dx + fy(x,y),dy,
onde dx = 12,03 - 12 = 0,03 e dy = 10,04 - 10 = 0,04.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y) = partialpartial x (x,y)^1,08 = 1,08,(x,y)^1,08-1,y = 1,08,y,(x,y)^0,08,
fy(x,y) = 1,08,x,(x,y)^0,08

Passo 4

Avaliamo-las no ponto (12,10). Primeiro,
(x,y)^0,08|(12,10) = (120)^0,08 = e^0,08ln(120)
Como ln(120)approx 4,78749, temos
(120)^0,08approx e^0,08cdot4,78749approx e^0,383approx 1,466
Logo
fx(12,10)approx 1,08cdot10cdot1,466 approx 15,836, fy(12,10)approx 1,08cdot12cdot1,466 approx 19,003

Passo 5

O diferencial em (12,10) é
df = fx(12,10),dx + fy(12,10),dy approx 15,836cdot0,03 + 19,003cdot0,04 approx 0,475 + 0,760 = 1,235
E o valor de referência
f(12,10) = (120)^1,08 = e^1,08ln(120) approx e^1,08cdot4,78749 approx e^5,169approx 175,42

Passo 6

Aproximando,
f(12,03,10,04)approx f(12,10) + df approx 175,42 + 1,235 = 176,655

Resposta

A aproximação pelo método dos diferenciais é cerca de 176,66.

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