Calcule a derivada das funções compostas e simplifique, se possível:
f(x)=log 3(x cdot sen(x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=log3l(xcdot sen(x)r)
Para resolver vamos precisar de dois ingredientes principais:
  1. a regra do produto para derivar u(x)=xsen(x),
  2. a regra da cadeia e a fórmula da derivada de loga(u), que é
ddxl(loga(u)r)=u'u,ln(a)

Passo 2

Definimos
u(x)=xsen(x)
Aplicando a regra do produto, sua derivada é
u'(x)=ddxl(xr)cdotsen(x)+xcdotddxl(sen(x)r) =sen(x)+xcos(x)

Passo 3

Agora aplicamos a derivada do logaritmo de base 3 por meio da regra da cadeia:
f'(x) =u'(x)u(x),ln(3) =sen(x)+xcos(x)l(xsen(x)r),ln(3)

Passo 4

Podemos ainda escrever o resultado de forma mais “fatorada” ou separada:
f'(x) =sen(x)+xcos(x)xsen(x),ln(3) =sen(x)xsen(x),ln(3) +xcos(x)xsen(x),ln(3) =1x,ln(3)+cos(x)sen(x),ln(3)

Resposta

f'(x)=sen(x)+xcos(x)xsen(x),ln(3),
ou equivalentemente
f'(x)=1x,ln(3)+cot(x)ln(3)

Exercícios relacionados